Только половина : в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. доказательство пусть δ abc – равнобедренный с основанием ab, и cd – медиана, проведенная к основанию. в треугольниках cad и cbd углы cad и cbd равны, как углы при основании равнобедренного треугольника , стороны ac и bc равны по определению равнобедренного треугольника, стороны ad и bd равны, потому что d – середина отрезка ab . отсюда получаем, что δ acd = δ bcd . из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: acd = bcd, adc = bdc . из первого равенства следует, что cd – биссектриса. углы adc и bdc смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому cd – высота треугольника. теорема доказана.
Только половина : в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. доказательство пусть δ abc – равнобедренный с основанием ab, и cd – медиана, проведенная к основанию. в треугольниках cad и cbd углы cad и cbd равны, как углы при основании равнобедренного треугольника , стороны ac и bc равны по определению равнобедренного треугольника, стороны ad и bd равны, потому что d – середина отрезка ab . отсюда получаем, что δ acd = δ bcd . из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: acd = bcd, adc = bdc . из первого равенства следует, что cd – биссектриса. углы adc и bdc смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому cd – высота треугольника. теорема доказана.
треугольник АВС
АВ = ВС = АС
(О;r) - вписанная
Найти: угол АОС, угол АОВ, угол ВОС
Решение:
1. Так как треугольник АВС - равносторонний, то равные углы АВС, ВСА и САВ будут равны 60°
Теперь вспомним, что центр вписанной окружности - это точка пересечения биссектрис. Тогда:
2. угол АВО = угол ОВС = уголАВС / 2 = 60 / 2 = 30°
3. угол ВСО = угол ОСА = угол АВО = угол ОВС = угол САО = угол ОАВ = 30° (все эти углы образованы из биссектрис одинаковых углов)
4. угол ВСО + угол СВО + угол ВОС = 180°
угол ВОС = 180 - 30 - 30 = 120°
5. угол ВОС = угол СОА = угол АОВ = 120° (их треугольники равны по 2 признаку: два равных угла и равные стороны равностороннего треугольника)
ответ: угол ВОС = 120°, угол СОА = 120°, угол АОВ = 120°.