В ΔKON: ON = OK (радиусы), следовательно ΔКОN равнобедренный, с основанием КN. В равнобедренном Δ углы при основании равны, следовательно ∠KOM = ∠KNM*2 = 2*67 = 134° (внешний угол Δ равен сумме внутренних углов, не смежных с данным углом).
В ΔКОМ: КО = ОМ (радиусы), следовательно ΔКОМ равнобедренный, с основанием КМ. В равнобедренном Δ углы при основании равны, следовательно: ∠KMN = (180 - 134):2 = 23°
1. В основании правильной треугольной пирамиды - правильный треугольник, а высота проецируется в его центр. SO - высота пирамиды, ОС - проекция SC на плоскость основания, значит ∠SCO - угол наклона бокового ребра к плоскости основания - искомый. ОС - радиус окружности, описанной около правильного треугольника: ОС = АВ√3/2 = 6√3/3 = 2√3. ΔSOC: ∠SOC = 90°, ctg∠SCO = OC / SO = 2√3 / 8 = √3/4
2. Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат, боковые грани - равнобедренные треугольники. Пусть Н - середина CD, тогда SH - медиана и высота равнобедренного треугольника SDC, ОН - средняя линия ΔADC, ⇒ ОН║AD, ⇒ OH⊥CD. Значит ∠SHO - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани к основанию - искомый. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали, значит АС = 8. АС = АВ√2 ⇒ АВ = АС/√2 = 8 / √2 = 4√2 - сторона квадрата ОН = AD/2 = 2√2 ΔSOH: ∠SOH = 90°, cos∠SHO = OH / SH = 2√2/7
3. Sбок = 2πRH = 160π см² ⇒ 2RH = 160 см² ABCD - осевое сечение. Sabcd = 2R·H = 160 см² ABEF - сечение, параллельное оси и отстоящее от нее на 6 см. Так как H = R - 2,то 2R(R - 2) = 160 R² - 2R - 80 = 0 D = 4 + 320 = 324 R = (2 + 18)/2 = 10 см R = (2 - 18)/2 = - 8 - не подходит по смыслу задачи H = 10 - 2 = 8 см Если Н -середина ВЕ, то ОН = 6 см - расстояние от оси до сечения. ΔОНВ: ∠ОНВ = 90°, по теореме Пифагора НВ = √(ОВ² - ОН²) = √(100 - 36) = 8 см ВЕ = 2НВ = 16 см Sabef = BE · H = 16 · 8 = 128 см²
4. ΔАВС - данное сечение - равнобедренный треугольник (АВ = АС = l образующие) ∠АВС = ∠АСВ = 75°, ⇒ ∠ВАС = 30°. Sabc = 1/2 · AB · AC · sin ∠BAC = 16 см² l² · sin30° = 32 l² = 64 l = 8 cм ΔАОВ: ∠ВАО = 30° по условию. cos∠BAO = AO/AB cos30° = h/l ⇒ h = l · cos30° = 8√3/2 = 4√3 см r = OB = AB · sin30° = 8 · 1/2 = 4 см Площадь осевого сечения: Sakc = 1/2 · KC · AO = r · h = 16√3 см² Sполн = πr(l + r) = π · 4 · (8 + 4) = 48π см²
ON = OK (радиусы), следовательно ΔКОN равнобедренный, с основанием КN.
В равнобедренном Δ углы при основании равны, следовательно
∠KOM = ∠KNM*2 = 2*67 = 134° (внешний угол Δ равен сумме внутренних углов, не смежных с данным углом).
В ΔКОМ:
КО = ОМ (радиусы), следовательно ΔКОМ равнобедренный, с основанием КМ.
В равнобедренном Δ углы при основании равны, следовательно:
∠KMN = (180 - 134):2 = 23°
ответ: ∠KMN = 23°; ∠KOM = 134°.