Дана прямая треугольная призма, площадь полной поверхности равна 148,8 м^2. найдите площадь боковой поверхности призмы, если стороны основания призмы равны 10,8 м, 8,7 м, 7,5м.
S пол=2Sосн+Sбок Sбок=148,8-2Sосн Площадь основания найдем по формуле Герона S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],p=(a+b+c)/2 p=(10,8+8,7+7,5)=27/2=13,5 S=√[13,5*2,7*4,8*6]=√(27/2*27/10*48/10*6)=√(27²*144/10²)=27*12/10=32,4см² Sбок=148,8-2*32,4=148,8-64,8=84см²
1) Площадь полной поверхности можно найти по формуле: Sполн=Sбок+2Sосн.⇒ Sбок=Sполн-2Sосн=148,8-2Sосн. 2) Так как известны стороны основания, то для нахождения площади основания можно применить формулу Герона: Sосн=√(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p - полупериметр треугольника, a, b, c - стороны треугольника. р=(a+b+c)/2=(10,8+8,7+7,5)/2=27/2=13,5 (м) Sосн=√(13,5*(13,5-10,8)(13,5-8,7)(13,5-7,5))=√(13,5*2,7*4,8*6)=32,4 (м²). 3) Sбок=Sполн-2Sосн=148,8-2Sосн=148,8-2*32,4=148,8-64,8=84 (м²). ответ: 84 м².
Вот пришло в голову решение :) Так-то задачка ерундовая :) Я продлеваю перпендикуляры HK и HM за точку H до пересечения с BA в точке A1 и BC в точке C1 (ну, точки лежат на продолжениях... из за того, что ∠ABC острый, эти точки есть и лежат где положено :) ) Для треугольника A1BC1 H - точка пересечения высот (ну двух-то точно :) - A1M и C1K), поэтому A1C1 перпендикулярно BH, и, следовательно, параллельно AC; то есть ∠BAC = ∠BA1C; Точки K и M лежат на окружности, построенной на A1C1, как на диаметре, поэтому ∠BA1C + ∠KMC = 180°; как противоположные углы вписанного четырехугольника. Или, что же самое, ∠BA1C = ∠BMK; следовательно ∠BAC = ∠BMK; и треугольники ABC и BMK имеют равные углы. То есть, подобны.
Следствие, которое важнее задачи :) Четырехугольник AKMC - вписанный. То есть через эти 4 точки можно провести окружность.
Дополнение. Тривиальный решения тут такой. ∠KHB = ∠A; ∠MHB = ∠C; BK = BH*sin(A) = BC*sin(C)*sin(A); BM = BH*sin(C) = BA*sin(A)*sin(C); То есть у треугольников ABC и MBK угол B общий, и стороны общего угла пропорциональны BM/BA = BK/BC = sin(A)*sin(B); значит треугольники подобны. коэффициент подобия sin(A)*sin(C), что тоже полезное следствие.
Расстоянием от точки до прямой называется длина кратчайшего перпендикуляра. таким образом, необходимо опустить перпендикуляр из точки с на прямую sa. для этого достроим равнобедренный треугольник sca и перпендикуляр сk, при чем k лежит на самой стороне sa, так как угол sca острый. обозначим ck за х. тогда по т. пифагора: х^2+sk^2=sc^2 x^2+ak^2=ac^2. отсюда приравняем: sc^2-sk^2=ac^2-ak^2. 4-sk^2=sqrt2(диагональ через 1 вершину в правильном шестиугольнике в sqrt2 раза больше стороны, т.е. ac=ab*sqrt2=-sk)^2. 4-sk^2=sqrt2-(4-4sk+sk^2). 4-sk^2=sqrt2-4+4sk-sk^2. 4=sqrt2-4+4sk. 4sk=8-sqrt2. sk=2-(sqrt2)/4. kc^2=sc^2-sk^2=4-(4-sqrt2+1/8)=sqrt2-1/8. kc=sqrt(sqrt2-1/8).
Sбок=148,8-2Sосн
Площадь основания найдем по формуле Герона
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],p=(a+b+c)/2
p=(10,8+8,7+7,5)=27/2=13,5
S=√[13,5*2,7*4,8*6]=√(27/2*27/10*48/10*6)=√(27²*144/10²)=27*12/10=32,4см²
Sбок=148,8-2*32,4=148,8-64,8=84см²