1) Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 5t + t³ - 1.
Скорость точки - первая производная от x(t)
v(t) = x'(t) = (5t + t³ - 1)' = 5 + 3t²
t = 1 с ⇒ v(1) = 5 + 3*1² = 5 + 3 = 8 м/с
Ускорение точки - первая производная от скорости v(t)
a(t) = v'(t) = (5 + 3t²)' = 6t
t = 1 c ⇒ a(1) = 6*1 = 6 м/с²
ответ: v(1) = 8 м/с ; a(1) = 6 м/с²
2.а) y= x³/3 - 5/2 x² + 6x + 10 = x³/3 - 2,5x² + 6x + 10; на отрезке [0;1]
Сначала найдем точки экстремумов функции через первую производную.
y' = (x³/3 - 2,5x² + 6x + 10)' = (x³/3)' - (2,5x²)' + (6x)' + (10)'
y' = x² - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2) = 0
Точки экстремумов x₁ = 3 и x₂ = 2 в заданный интервал [0; 1] не входят.
Тогда значения функции на границах интервала
y (0) = 0³/3 - 2,5 * 0² + 6*0 + 10 = 10
y (1) = 1³/3 - 2,5 * 1² + 6* 1 + 10 = 1/3 - 2,5 + 16 = 13 5/6
ответ : наименьшее значение функции y(0) = 10;
наибольшее значение функции y (1) = 13 5/6
2.б) y= cosx - √3 sinx; на отрезке [-π; 0]
y = cos x - √3 sin x = 2*(1/2 * cos x - √3/2 * sin x) =
= 2*(sin (π/6) * cos x - cos (π/6) * sin x)
y = 2 * sin ( π/6 - x)
Функция sin α имеет наибольшее значение 1 в точке α = π/2 + 2πn
π/6 - x = π/2 + 2πn ⇔ x = π/6 - π/2 - 2πn = -π/3 - 2πn
x₁ = -π/3 - точка максимума, входит в интервал [-π; 0]
Функция sin α имеет наименьшее значение -1 в точке α = -π/2 + 2πk
π/6 - x = -π/2 + 2πk ⇔ x = π/6 + π/2 - 2πk = 2π/3 - 2πk
x₂ = 2π/3 - 2π = -4π/3 - точка минимума не входит в интервал [-π; 0]
Значения на границах интервала
x = -π; y = 2 * sin ( π/6 - (-π)) = 2 * (- sin (π/6)) = -2 * 1/2 = -1
x = 0; y = 2 * sin ( π/6 - 0) = 2 * 1/2 = 1
Наибольшее значение функции на интервале [-π; 0] в точке максимума
y (-π/3) = 2 * sin (π/6 - (-π/3)) = 2 * sin (π/2) = 2
Наименьшее значение функции на границе интервала y (-π) = -1
ответ: наибольшее значение y(-π/3) = 2
наименьшее значение функции y (-π) = -1
Объяснение:
4. Используем одно из свойств прямоугольных треугольников: если катет прямоугольного треуг-ка равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. В нашем случае КН=1/2ТН, значит, <KTH=30°.Зная, что сумма острых углов прямоугольного треуг-ка равна 90°, найдем угол ТНК:
<THK=90-<KTH=90-30=60°.
5. Используем один из признаков равенства прямоугольных треугольников: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треуг-ка соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треуг-ки равны. В нашем случае AD - общая гипотенуза, а углы BAD и CAD равны по условию, т.к. DA - биссектриса. Треугольники ABD и ACD равны. Равны и их катеты АВ и АС.
