Диаметральное сечение усеченного конуса - равнобокая трапеция с основаниями 8 и 16 м. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°, значит высота усеченного конуса (высота трапеции) равна полуразности оснований, то есть 4 м. Есть формула для расчета объема усеченного конуса: V=(1/3)*π*h(R1²+R1*R2+R2²) или V=(1/3)*π*4*(64+32+16)≈469 м³. Если без формулы, то: так как диаметральное сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, то отсекаемая часть усеченного конуса - это подобный треугольник с коэффициентом подобия R1:R2=1/2. Значит высота "полного" конуса равна 8м. Тогда его объем равен V=(1/3)So*H=(1/3)*π64*8. Объем "отсекаемой" - верхней части конуса равен V1=(1/3)*π16*4. Тогда объем усеченного конуса равен V-V1 или Vу=(1/3)*π64*8-(1/3)*π16*4=(1/3)*π16*4(8-1) ≈149π ≈ 469 м³. ответ: объем равен 469 м³.
А не так-то и просто :) Пусть через вершину C проведена прямая, параллельная AB, и A2 - это точка пересечения этой прямой c продолжением прямой AA1; Сразу видно две пары подобных трегольников Треугольник APC1 подобен треугольнику A2PC; что означает CA2/AC1 = CP/PC1; Треугольник AA1B подобен треугольнику CA1A2, что означает CA1/A1B = CA2/AB = CA2/(2*AC1) = (1/2)*CP/PC1; То же самое можно сделать "с другой стороны медианы" (отметить на CA2 точку B2 пересечения с прямой BB1, и рассмотреть аналогичную пару подобных треугольников. Однако можно и это не делать - у вершин A и B можно просто поменять местами обозначения A <=> B) то есть CB1/B1A = (1/2)*CP/PC1 = CA1/A1B; то есть A1B1 II AB по теореме Фалеса (ну, или в силу доказанного подобия треугольников ABC и A1B1C, если хотите).
Из курса геометрии известно, что у октагона - правильного восьмиугольника, стороны и внутренние углы равны между собой соответственно. Известно также, что сумма внутренних углов любого правильного многоугольника с n сторон рассчитывается по формуле ∑∠(n) = (n - 2)×180°. Применяя указанную формулу для данного восьмиугольника, получаем сумму ∑∠(8) = (8 - 2)×180° = 6×180° = 1080°, откуда следует, что ∠HGF заданного восьмиугольника равен ∠HGF = 1080°÷8 = 135°. Поскольку ∠HGF вписанный, а для вписанных углов известно, что они равны половине дуги, на которую они опираются, а значит, дуга F_H = 135°×2 = 270°. Тогда дуга, на которую опирается ∠FCH (условно - меньшая) составляет 360°-270°=90°, а вписанный угол ∠FCH, который на эту дугу опирается, равен ∠FCH = 90°÷2 = 45°
Образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°, значит высота усеченного конуса (высота трапеции) равна полуразности оснований, то есть 4 м.
Есть формула для расчета объема усеченного конуса:
V=(1/3)*π*h(R1²+R1*R2+R2²) или V=(1/3)*π*4*(64+32+16)≈469 м³.
Если без формулы, то:
так как диаметральное сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, то отсекаемая часть усеченного конуса - это подобный треугольник с коэффициентом подобия R1:R2=1/2.
Значит высота "полного" конуса равна 8м.
Тогда его объем равен V=(1/3)So*H=(1/3)*π64*8.
Объем "отсекаемой" - верхней части конуса равен
V1=(1/3)*π16*4.
Тогда объем усеченного конуса равен V-V1 или
Vу=(1/3)*π64*8-(1/3)*π16*4=(1/3)*π16*4(8-1) ≈149π ≈ 469 м³.
ответ: объем равен 469 м³.