Вариант решения.
Обозначим трапецию АВСД, ВС и АД - основания.
Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны.⇒
АМ=АН=9, КД=ДН=12, ВМ=ВТ=х, СТ=СК=у
Соединим вершины трапеции с центром окружности.
Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе.⇒ Центр вписанной в трапеции окружности лежит в точке пересечения биссектрис её углов.
Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°, сумма их половин равна 90°, ⇒ ∆ АОВ и ∆ СОВ прямоугольные, радиусы ОМ и ОК– их высоты.
Высота прямоугольного треугольника - среднее пропорциональное между проекциями его катетов на гипотенузу.
ОМ²=АМ•ВМ
36=9•х⇒
х=36:9=4
Аналогично ОК²=ДК•СК
36=12•у
у=36:12=3
АВ=9+4=13
ВС=3+4=7
CD=12+3=15
АД=9+12=21
Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований.
Высота описанной трапеции равна диаметру вписанной окружности
h=2r=12
S=(7+21)•12:2=168 ед. площади.
Дано: пряма АС, АВ і ВС - похилі, АВ=10 см, ВС=18 см. Знайти ВН.
Маємо ΔАВС, де АВ=10 см, ВС=18 см, АС=16 см. ВН - висота.
АН - проекція АВ на АС, СН - проекція ВС на АС. Нехай АН=х см, тоді СН=16-х см.
Знайдемо ВН за теоремою Піфагора. ВН²=АВ²-АН²=100-х², або
ВН²=ВС²-(16-х)²=324-(256-32х+х²); тоді 100-х²=324-(256-32х+х²);
100-х²=324-256+32х-х²; 32х=32; х=1.
АН=1 см, СН=16-1=15 см.
Знайдем ВН из ΔАВН; ВН=√(100-1)=√99≈9,95 см.
Є простіше рішення за формулою Герона
S(ABC)=√(p(p-a)(p-b)(p-c)=√(22*12*4*6)=√6336≈79,6.
S(ABC)=1\2 * AC * BH; 1\2 * 16 * ВН=79,6; 8ВН=79,6; ВН=9,95 см.