Если провести через точку A прямую параллельно BC, то она пересечет BD в точке K таким образом, что AK = AB. Это потому, что ∠AKB = ∠DBC; это - внутренние накрест лежащие углы; а ∠DBC = ∠ABD; так как BD - биссектриса получилось, что треугольник AKB - равнобедренный. Теперь понятно, что для того, чтобы прямая AD пересекла BС в точке C за точкой D, то есть чтобы существовал треугольник ABC, нужно, чтобы точка D лежала ближе к B, чем K. Отсюда ∠ADB > ∠AKB = ∠ABD; и AB > AD; так как напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона.
Соединив данную точку с вершинами треугольника, получим треугольную пирамиду с равными (это вытекает из условия) рёбрами. Но тогда будут равны и их проекции на плоскость треугольника и на плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника. Так как вторые проекции лежат на прямых, проходящих через вершину пирамиды и пересекающих плоскость треугольника в одной точке (равноудалённой от вершин треугольника), то эти проекции совпадают). Но по условию через вершину пирамиды и данную точку проходит и данная в условии прямая. А это значит, что она совпадает с проекцией рёбер пирамиды на плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника. Но эта проекция, а вместе сней и данная прямая, перпендикулярна плоскости треугольника.
Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 16 см. Найдите длину биссектрисы треугольника, проведенную из вершины большего острого угла.
ответ: 6√5 см
Объяснение:
Пусть в треугольнике АВС угол С=90°, АС=12 см, СВ=16 см, АК - биссектриса.
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
Примем длину СК=х, ВК=у. Тогда х:у=АС:АВ.
По т.Пифагора АВ=√(АС*+ВС*)=√(144+256)=20 ⇒
х:у=12:20=3/5 Следовательно, ВС состоит из х+у=3+5=8 частей. Длина каждой части 16:8=2 см. ⇒ СК=2•3=6 см
Из прямоугольного ∆ АСК по т.Пифагора АК=√(AC²+CK²)=√(144+36)=√180=6√5 см