Question

Дан произвольный треугольник. а) докажите, что через любую точку, лежащую в плоскости этого треугольника, можно провести прямую, которая делит его площадь пополам. б) для каких точек плоскости такая прямая может быть выбрана единственным образом? в) сколько существует точек плоскости, в которых можно провести более одной прямой, делящей площадь треугольника пополам? г.) каково максимально возможное число прямых, проходящих через одну точку и делящих площадь треугольника пополам. пример и доказательство максимальности. пункт (а) я решил: в треугольнике abc проведём медиану bm. она делит площадь треугольника abc пополам. отметим произвольную точку k между вершиной c и точкой m. проведём прямую bk и прямую mp параллельно bk. тогда площади треугольников kbm и kbp равны, т.к. у них общая сторона bk и равные высоты (т.к. mp и bk параллельны). площадь четырёхугольника bckp равна sbck+skbp. т.к. skbp=skbm, то sbckp=sbck+skbm. но эта сумма есть площадь треугольника mbc и равна 0,5*sabc (т.к. bm - медиана треугольника abc). значит прямая kp делит площадь треугольника abc пополам. , , с пунктами (б), (в), (г)!

Answer 1

Опасаясь, что вопрос удалится, как не получивший ответа, даю пока неполное решение.
Здесь надо рассмотреть три случая.
1) Точка М, через которую проходит прямая, делящая площадь треугольника пополам, лежит на границе треугольника.
2) Точка M лежит внутри треугольника.
3) Точка М лежит вне треугольника.
Все случаи рассматриваются в приложениях - сколько их будет, пока не знаю.