Т.к. биссектриса является высотой, треугольник ABC - равнобедренный, с основанием AC. Значит, AB=BC, а BK также является медианой, т.е. AK=CK.Периметр ABK P=AB+BK+AK;Периметр ABC=AB+AC+BC=AB+AK+KB+BC=2AB+2AK=2(AB+AK)=2(Pabk-BK)=2(16-5)=2*11=22 см Задача 2Т.к. AB=BC, AF=EC=AB/2=BC/2;Рассмотрим треугольники AFC и CEAОни равны по двум сторонам (AF=EC и AC - общая) и углу между ними (EAC=FCA)Тогда углы EAC=FCA.Значит, угол BAE=BAC-EAC=BCFУглы FMA=EMC, как вертикальыеТогда углы AFM=180-FMA-FAM=MECЗначит, треугольники AFM=EMC по стороне (EC=AF) и двум прилежащим к ней углам (AFM=MEC и FAM=ECM)Тогда AM=MC => треугольник AMC - равнобедренный
Построим сумму векторов а и b и их разность. ↑АС = ↑р = ↑а + ↑b ↑DB = ↑q = ↑a - ↑b Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А. ∠ЕАС - искомый. Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов: |↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49 |↑q| = 7 Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°. Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов: |↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129 |↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов: cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC) cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903 cos α = - 13√129/301
Если прямая (DC), параллельна какой-нибудь прямой (AB), расположенной в плоскости (α), то она параллельна самой плоскости. Если плоскость проходит через прямую (DC), параллельную другой плоскости (α), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (EF) параллельна первой прямой (DC). Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α. Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3. Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°. Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²
Задача 2Т.к. AB=BC, AF=EC=AB/2=BC/2;Рассмотрим треугольники AFC и CEAОни равны по двум сторонам (AF=EC и AC - общая) и углу между ними (EAC=FCA)Тогда углы EAC=FCA.Значит, угол BAE=BAC-EAC=BCFУглы FMA=EMC, как вертикальыеТогда углы AFM=180-FMA-FAM=MECЗначит, треугольники AFM=EMC по стороне (EC=AF) и двум прилежащим к ней углам (AFM=MEC и FAM=ECM)Тогда AM=MC => треугольник AMC - равнобедренный