1. АА₁ - биссектриса,
ВВ₁ - медиана,
СС₁ - высота.
2. АВ = СВ,
∠АВЕ = ∠СВЕ,
ВЕ - общая сторона.
ΔАВЕ = ΔСВЕ по 1 признаку (по двум сторонам и углу между ними).
3. ∠ВАС = 180° - ∠1 по свойству смежных углов.
∠ВАС = 180° - 110° = 70°.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит
∠ВСА = ВАС = 70°
∠BDC = 90°, так как в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой.
4. ОМ = ОК по условию,
∠DMO = ∠BKO по условию,
∠DOM = ∠BOK как вертикальные, значит
ΔDMO = ΔBKO по стороне и двум прилежащим к ней углам.
В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы, значит ∠MDO = ∠KBO, а так же OD = OB.
Треугольник DOB равнобедренный, значит углы при основании равны:
∠ODB = ∠OBD.
∠MDB = ∠MDO + ∠ODB
∠KBD = ∠KBO + ∠OBD, а так как ∠MDO = ∠KBO и ∠ODB = ∠OBD, то
∠MDB = ∠KBD, т.е. ∠D = ∠B
Угол между прямой и плоскостью - угол между наклонной и её проекцией на плоскость.
Чтобы найти проекцию наклонной B1C на плоскость (AA1C) спроецируем точку B1, то есть проведем перпендикуляр B1H к плоскости (AA1C).
Прямая перпендикулярна плоскости если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости.
Любая прямая в плоскости (A1B1C1) перпендикулярна СС1 (боковые ребра прямой призмы перпендикулярны основаниям). Поэтому достаточно опустить перпендикуляр B1H на A1С1.
B1H⊥A1С1, B1H⊥CC1 => B1H⊥(AA1C)
HC - проекция наклонной B1C на плоскость (AA1C)
B1CH - искомый угол
△B1CH - прямоугольный (B1H⊥HC)
7) B1H =√3/2 (высота в равностороннем △A1B1C1)
B1C =√3 (△B1CB, теорема Пифагора)
sin(B1CH) =B1H/B1C =1/2
B1CH=30
8) HC1 =4 (B1H высота и медиана)
HC =5 (△HCC1 египетский)
cos(B1CH) =HC/B1C =5/10 =1/2
B1CH=60
Шар касается всех ребер куба. Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба, если ребро куба равно 1.