1. Угол между наклонной к плоскости и плоскостью - это угол между наклонной и ее проекцией на плоскость. Искомый угол - угол МАО. Высота правильного треугольника равна h=(√3/2)*a = (√3/2)*2√3=3. АО=(1/3)*h = 1 (свойство медианы). Tg(<MAO) = MO/AO = √3.
ответ: α = arctg√3 = 60°
2. Искомый угол - угол между наклонной и ее проекцией, то есть угол АВК. Sin(<ABK) = KA/KB = AC*tg60/5 = 5√3/11. <ABK = arcsin(0,787) ≈ 51,9°.
3. Опустим перпендикуляры SP и SH из точки S к сторонам АВ и АD соответственно. Прямоугольные треугольники APS и AHS равны по гипотенузе и острому углу. Значит АР=АН и АРОН - квадрат. тогда АО = АН*√2 (диагональ квадрата), АS = 2*АН (в треугольнике ASH катет АН лежит против угла 30°, а AS - гипотенуза). Косинус искомого угла (между наклонной AS и плоскостью АВСD, равного отношению проекции наклонной к наклонной) = АО/AS = АН√2/(2*АН) = √2/2.
ответ: искомый угол равен 45°.
Примем коэффициент отношения данных углов равным а.
Тогда ∠FDC=4a; ∠ECD=5a
Угол ОDF развернутый, ⇒ угол ODC=180°-4a
Угол ОСЕ - развернутый ⇒ угол ОСD=180°-5а.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы ромба пополам.
∆ DOC прямоугольный.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника =90°.
180°-4а+180°-5а=90°
9а=270° ⇒
а=30°
Угол ВDC=180°-4•30°=60°
Противолежащие углы ромба равны.
Угол АВС=АDC=2•∠BDC=120°
Сумма углов. прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°⇒
угол ВАD=BCD=180°-120°=60°