Боковая поверхность - 3 трапеции, средняя линяя у каждой из трех - 4;
2 из них - с высотой 1;
грань, "противоположная" ребру длинны 1, - это равнобедренная трапеция, её высоту и надо вычислить, чтобы получить ответ.
проводим "вертикальную" плоскость через ребро 1, делящую основания "пополам" (то есть эта плоскость проходит через высоты оснований пирамиды, выходящие из вершин ребра 1).
сечение пирамиды, которое получится - это трапеция с боковой стороной 1, перпендикулярной основаниям, и основаниями 3*sqrt(3)/2 и 5*sqrt(3)/2. четвертая сторона легко вычисляется, и равна 2. Это и есть высота наклонной грани трапеции (поскольку сечение перпендикулярно основаниям пирамиды);
ответ S = 4*1+4*1+4*2 = 16
Сделаем рисунок и обозначим вершины пирамиды АВСА1В1С1. Ребро ВВ1⊥АВС=1 см
Площадь боковой поверхности этой пирамиды - сумма площадей трех трапеций: двух прямоугольных и одной равнобедренной - той, что противолежит ребру ВВ1.
В основаниях пирамиды правильные треугольники - следовательно, длины средней линии всех трапеций равны 0,5•(3+5)=4 см
Площадь прямоугольных граней равна произведению их средней линии на длину высоты пирамиды, т.е. .
S (АВВ1А1)=S (ВВ1С1С)= 4•1=4 см²
Чтобы найти высоту грани АА1С1С, проведем в основаниях пирамиды высоты ВН и В1К и соединим К и Н.
Плоскость прямоугольной трапеции ВНКВ1 перпендикулярна плоскости оснований, т.к. содержит в себе отрезок ВВ1, перпендикулярный обоим основаниям.
Из К опустим высоту КТ.
КН по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярна АС и является высотой трапеции АСС1А1.
В прямоугольном треугольнике КТН катет КТ=ВВ1=1см, катет НТ равен разности высот оснований пирамиды.
ВК=(3√3):2
BH=(5√3):2
ТН=2√3):2=√3 см
КН=√(КТ²+НТ²)=√4=2 см
S (АСС1А1)=4*2=8 см²
S(бок)=4+4+8=16 см²
Объяснение:
Дан правильный тетраэдр EPGS, у которого EF = 12.
Точки L и N лежат на ребрах SG и SE соответственно, причем SL = 3, SN = 3. Точка Т - середина ребра SF.
Найдите:
а) точку Y1 пересечения прямой TL и плоскости EFG;
б) точку Y2 пересечения прямой TN и плоскости EFG;
в) длину отрезка Y1Y2;
г) точку пересечения прямой TN и плоскости ELF;
д) прямую пересечения плоскостей LY1Y2 и NFE;
е) отношение, в котором плоскость LY1Y2 делит отрезок SE, считая от точки S.
Определение: Тетраэдр называется правильным, если все его грани - равносторонние треугольники.
а) точка Y1 должна лежать на линии пересечения плоскостей GSF и EFG, так как прямая TL лежит в плоскости GSF. Для ее нахождения продлим прямую TL за точку Т до пересечения с продолжением прямой GE (линии пересечения плоскостей GSF и EFG.
б) точка Y2 должна лежать на линии пересечения плоскостей ЕSF и EFG, так как прямая TN лежит в плоскости ESF. Для ее нахождения продлим прямую TN за точку Т до пересечения с продолжением прямой EF (линии пересечения плоскостей ESF и EFG.
в) Проведем в грани GSF прямую LH параллельно ребру SF. Треугольник GLH подобен треугольнику GSF, следовательно он правильный и LH = GL = 9 ед. Треугольники LHY1 и TFY1 также подобны с коэффициентом подобия k = TF/LH = 6/9 = 2/3. Тогда FY1/HY1 = 2/3 => FY1/(FY1+HF) = 2/3. HF = 3 (HF=SL, так как LH║SF) => FY1 = 6 ед.
Аналогично и для грани ESF => FY2 = 6 ед.
Треугольник Y1FY2 равнобедренный с углом при вершине F равным 60° (он вертикальный с углом EFG правильного треугольника EFG). Следовательно, это правильный треугольник и его сторона
Y1Y2 = Y1F = Y2F = 6 ед.
г) точка пересечения прямой TN и плоскости ELF - это точка Y2, так как плоскости ELF и ESF пересекаются по прямой EF, следовательно, прямая TN, лежащая в плоскости ESF, пересечет плоскость ELF в точке Y2 на линии пересечения этих плоскостей.
д) прямая пересечения плоскостей LY1Y2 и NFE - это прямая TY2 (NY2), так как точки Т и Y2 принадлежaт плоскости NFE (SEF) и плоскости LY1Y2.
е) точка N принадлежит плоскости LY1Y2, так как эта плоскость определяется как единственная пересекающимися прямыми LY1 и NY2. SN = 3, а SE = 12(дано), значит NE = 12 -3 =9). Следовательно, плоскость LY1Y2 делит отрезок SE в отношении SN/NE = 1:3, считая от точки S.
P.S. Пункт в) можно решить по теореме Менелая.
Для треугольника GSF и секущей LY1 имеем:
(GL/LS)*(ST/TF)*(FY1/Y1G) = 1. Подставим известные значения:
(9/3)*(6/6)*(FY1/Y1G) = 1 => FY1/Y1G = 1/3. Или
FY1/(12+FY1) = 1/3. => FY1 = 6 ед.
Аналогично для треугольника ESF и секущей NY2 получаем
FY2 = 6 ед.