Ребро правильного тетраэдра DABC равно а.
Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середины ребер DA и AB параллельно ребру BC, и найдите площадь этого сечения.
––––––––––––––––––––––––
Тетраэдр называется правильным, если все его грани — равносторонние треугольники.
Сечение пройдет через середины ребер АD и АВ по линии D1B1– это средняя линия ∆ АВD.
Сечение, параллельное ВС - проходит через В1С1 – среднюю линию ∆ АВС.
Каждая сторона построенного сечения - средняя линия треугольника. ограничивающего грань тетраэдра, и по свойству средней линии равна а/2,
т.е. проведенное через середины ребер сечение - правильный треугольник со сторонами, равными а/2
Его площадь найдем по формуле площади равностороннего треугольника:
S=(a²√3):4
S=(a/2)²√3):4=(a²√3):16
_______________
Вариант решения:
Треугольник. получившийся в сечении, подобен треугольнику ВСD с коэффициентом подобия
k=( а/2):а=1/2
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия.
S1:S=k²=1/4
S ∆ CDB=(a²√3):4
S сечения в 4 раза меньше и равно (a²√3):16
AC²=AB²+BC²-2*AB*BC*cos∠B
Известно, что АВ=ВС+4. Подставляем все известные значения в формулу:
14²=(ВС+4)²+ВС²-2(ВС+4)*ВС*cos120°
196=BC²+8BC+16+BC²-2(BC+4)*BC*(-1/2)
196=2BC²+8BC+16+BC²+4BC
3BC²+12BC-196+16=0
3BC²+12BC-180=0 |:3
BC²+4BC-60=0
D=4²-4*(-60)=16+240=256=16²
BC=(-4-16)/2=-10 - не подходит
BC=(-4+16)/2=6 см
АВ=6+4=10 см
ответ: АВ=10 см, ВС=6 см.