Question

99 основание треугольной пирамиды - равнобедренный треугольник с основанием а и углом альфа при вершине. все двугранные углы при основании пирамиды равны бета. найдите: а) площадь полной поверхности пирамиды б) высоту пирамиды

Answer 1

Если двугранные углы при основании пирамиды равны, то высота пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание - точку О, и высоты боковых граней равны.

Сначала выразим в основании все нужные величины:

АН : ВН = ctg (α/2)  ⇒  AH = BH · ctg(α/2) = $\frac{a}{2}ctg \frac{ \alpha }{2}$

BH : AB = sin(α/2)  ⇒  AB = BH / sin(α/2) = $\frac{a}{2sin \frac{ \alpha }{2} }$

Pabc = 2AB + BC = a/sin(α/2) + a

Sabc = 1/2 · BC · AH = 1/2 · a · a/2 · ctg(α/2) = a²/4 · ctg(α/2)

r = 2Sabc / Pabc
r = 2· a²/4 · ctg(α/2) / (a/sin(α/2) + a) = a·cos(α/2) / (2 + 2sin(α/2))

ΔSOH:

OH : SH = cosβ  ⇒  SH = OH / cosβ = r / cosβ = 2Sabc / (Pabc · cosβ)

Теперь площадь полной поверхности:
S = Sбок + Sосн = 1/2 · Pabc · SH + Sabc
S = 1/2 · Pabc · 2Sabc / (Pabc · cosβ) + Sabc
S = Sabc/cosβ + Sabc = Sabc · (1/cosβ + 1)
S = a²/4 · ctg(α/2) · (1/cosβ + 1)

Вообще, если боковые грани наклонены под одним углом к основанию
Sосн /Sбок = cosβ

Высота пирамиды:
ΔSOH:
SO / r = tgβ
SO = r · tgβ = a·cos(α/2) · tgβ / (2 + 2sin(α/2))