Question

Ребро правильного тетраэдра равно корню 6 . найдите радиус шара вписанный в данный тетраэдр

Answer 1

Правильная треугольная пирамида - это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Центр шара, вписанного в правильную пирамиду,   лежит на её высоте.

Формула радиуса вписанной  окружности  для тетраэдра 

$r= \frac{a}{2 \sqrt{6} }$

По этой формуле $r= \frac{ \sqrt{6} }{2 \sqrt{6} } = \frac{1}{2} =0,5$

Подробное решение.(см. рисунок вложения) 

Обозначим пирамиду SABC, SH - высота пирамиды,  SM - апофема. 

 ОН и ОК - радиусы вписанного шара, 

Проведем сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через апофему и высоту пирамиды. При этом сечение шара будет вписанной в угол SМA окружностью.

∆ SHM прямоугольный. НМ - радиус окружности, вписанной в основание АВС пирамиды. 

 НМ=АМ:3 ( радиус вписанной в правильный треугольник окружности), 

Так как тетраэдр  правильный и, все его грани - правильные треугольники, их апофемы равны высоте правильного  треугольника со стороной √6.

SM=AM=√6•√3/2=$\frac{3 \sqrt{2} }{2}$ 

Радиус НМ вписанной в основание окружности равен AM/3=√2/2

КM=НM=$\frac{ \sqrt{2}}{2}$ 

SK=SM-KM=3√2/2-√2/2=√2

∆SHM подобен ∆SKO ⇒

$\frac{SH}{SK}= \frac{MH}{OK}$⇒

$\frac{2}{ \sqrt{2}} = \frac{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }{OK}$⇒

4r=2

r=0,5