ромб ABCD описан около круга;
AB = 13 (см), BD = 10 (см).
Найти:C - ? (см).
Решение:Пусть О - точка пересечения диагоналей этого ромба.
"Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны."
⇒ АВ = ВС = CD = AD = 13 (см).
Так как ромб - параллелограмм, вспомним свойства параллелограмма:
"Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам."
⇒ ОА = ОС, ВО = ОD = 10/2 = 5 (см).
"Диагонали ромба взаимно перпендикулярны".
⇒ △АОВ, △ВОС, △AOD, △COD - прямоугольные.
Найдём АО и ОС, по теореме Пифагора (с = √(а² + b²), где c - гипотенуза, a и b - катеты):
b = √(c² - a²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 (см).
Итак, АО = ОС = 12 см ⇒ АС = 12 ⋅ 2 = 24 (см).
S ABCD = 1/2AC ⋅ BD = 24/2 ⋅ 10 = 120 (см²)
Составим уравнение:
Пусть х - радиус круга R.
S ABCD = BC ⋅ 2R.
120 = 13 ⋅ 2x
120 = 26x
x = 60/13
Итак, R = 60/13 (см)
С = 2πR = π(2 · 60/13) = 120/13π (см)
ответ: 120/13π (см).
Прямая, проходящая через точку M1(x1; y1) и перпендикулярная прямой Ax+By+C=0, представляется уравнением
A(y - y1) - B(x - x1) = 0.
10) Дана точка Ао(2; 1) и прямая:
а) х + у + 1 = 0. Подставляем координаты точки Ао в уравнение перпендикулярной прямой.
1*(у -1) - 1*(х - 2) = 0. Раскрываем скобки.
у - 1 - х + 2 = 0.
-х + у + 1 = 0 или х - у - 1 = 0.
б) Дана прямая 2х - 3у + 4 = 0. Подставляем координаты точки Ао в уравнение перпендикулярной прямой.
2*(у - 1) - (-3)*(х - 2) = 0,
2у - 2 + 3х - 6 = 0,
3х + 2у - 8 = 0.
11) Дана точка Ао(-2; 1) и прямая:
а) 2х + у - 1 = 0. Подставляем координаты точки Ао в уравнение перпендикулярной прямой.
2*(у -1) - 1*(х + 2)) = 0. Раскрываем скобки.
2у - 2 - х - 2 = 0.
-х + 2у - 4 = 0 или х - 2у + 4 = 0.
б) Дана прямая х - 2у + 1 = 0. Подставляем координаты точки Ао в уравнение перпендикулярной прямой.
1*(у - 1) - (-2)*(х - (-2)) = 0,
у - 1 + 2х + 4 = 0,
2х + у + 3 = 0.
Проекция бокового ребра на основание равна длине стороны основания (свойства правильной шестиугольной пирамиды).
cos α = a/L. (1)
В боковой грани sin (α/2) = (a/2)/L.
Используем формулу двойного угла:
cos α = 1 - 2sin²(α/2) и подставим значение синуса половинного угла.
cos α = 1 - 2*(a²/(4L²)) = 1 - a²/(2L²). (2)
Приравняем значения косинуса искомого угла по формулам (1) и (2).
a/L = 1 - a²/(2L²).
Замена: a/L = х.
Тогда х = 1 - (х²/2).
Получаем квадратное уравнение:
х² + 2х - 2 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=2^2-4*1*(-2)=4-4*(-2)=4-(-4*2)=4-(-8)=4+8=12;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√12-2)/(2*1)=(√12/2)-(2/2)= √3-1 ≈ 0.73205;x_2=(-√12-2)/(2*1)=-√12/2-2/2=-√3-1 ≈ -2.73205 (отбрасываем).
Искомый угол равен arc cos (√3-1) = 0,749469 радиан = 42,9414°.