ЗАДАЧА 1.
Опустим в тр-ке АВС из т.В на сторону АС высоту ВР. Получим два прямоугольных тр-ка АВР (Р-прямой, угол А равен 30 градусов) и ВРС (угол Р - прямой и угол С равен 45 градусов, (т.к. 180-(30+105)=45).
Рассмотрим тр-к АВР: ВР - катет,лежащий против угла 30 градусов, значит ВР=0,5АВ=4 (см).
Рассмотрим тр-к ВРС: угол РВС=90-45=45 градусов=углу ВСР, значит тр-к равнобедренный и СР=ВР=4. По теореме Пифагора: ВС^2=BP^2+PC^2=2*BP^2=32, BC=sqrt(32)=4*sqrt(2)
Меньшая сторона лежит против меньшего угла. Это сторона ВС (угол С - наименьший)
1) Пусть дан прямоугольный тр-к АСВ с прямым углом С, катетом АС=12 см и радиусом вписанной окр-ти r=5 см.
2) Пусть катет СВ=х см. По формуле r=(2S)/P, где r=5 - радиус вписанной окр-ти, S=0,5*AC*BC=0,5*12*x=6x, а Р=АС+ВС+АВ=12+х+sqrt(144+x^2).
Получим уравнение: 5=[12x]/[12+x+sqrt(144+x^2)] => 12x=5(12+x+sqrt(144+x^2))
=> 5*sqrt(144+x^2)=7x-60 => 25(144+x^2)=49*x^2-840x+3600 => 24*x^2-840*x=0 =>
=> 2x(x-35)=0 => x=0 (не удовлетворяет условие задачи) или х=35 (см)
3) Итак, в тр-ке АВС: АС=12 см, СВ=35 см, АВ=sqrt(144+35^2)=37 см. Тогда Р=12+35+37=84 см.
уг.MAC=1/2BAC из этого следует, что ВAC=60
уг.MCA=1/2BCA из этого следует, что BCA=40
в треугольнике сумма всех углов= 180 градусов
из этого следует , что уг.ABC=180-BAC-BCA=80
уг.ABC=2ABM из этого слудет, что АВМ=80/2=40