Имеется кусок проволки длиной 2 м. 30см. хватит ли его, чтобы что-бы изготовить каркас: а) правильной треугольной пирамиды с ребром основания 30см. и боковым 40 см.?
Я обозначаю MP = a = 24 и NK = b = 16 Пусть продолжения MN и KP пересекаются в точке Е. Высота MPE пусть равна H (это просто обозначение). Тогда высота NKE равна H*b/a, а высота трапеции h = H*(1 - b/a); Прямая AB делит высоту трапеции в той же пропорции, что и диагонали (и вообще любой прямой отрезок с концами на основаниях), то есть в отношении b/a; то есть на отрезки h*b/(a + b) и h*a/(a + b) (первый отрезок между NK и AB, второй - между MP и AB, в сумме они дают h, и относятся, как b/a) Отсюда высота треугольника ABE равна H - h*a/(a + b) = H*(1 - (a - b)/(a + b)) То есть отношение высот подобных треугольников ABE и MPE равно 1 - (a - b)/(a + b) = 4/5; (если подставить a = 24; b = 16) поэтому AB = MP*4/5 = 96/5 = 19,2
Рассмотрим приложенный рисунок. Треугольники АВМ и АДТ равны по двум катетам. Следовательно, все углы в них равны. Из равенства углов этих треугольников следует, что треугольник АКМ прямоугольный, т.к. в нем острые углы равны острым углам прямоугольных треугольников. Отсюда подобие треугольников АВМ и АКМ. Коэффициент подобия треугольников найдем из отношения их гипотенуз. k=ВМ:АМ ВМ=√(АВ²+АМ²)=√125=5√5 Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. k=(5√5):5=√5 S(ABM):S (AKM)=k²=5 S(ABM)=10*5:2=25 S (AKM)=25:5=5
Пусть продолжения MN и KP пересекаются в точке Е.
Высота MPE пусть равна H (это просто обозначение).
Тогда высота NKE равна H*b/a, а высота трапеции h = H*(1 - b/a);
Прямая AB делит высоту трапеции в той же пропорции, что и диагонали (и вообще любой прямой отрезок с концами на основаниях), то есть в отношении b/a; то есть на отрезки h*b/(a + b) и h*a/(a + b) (первый отрезок между NK и AB, второй - между MP и AB, в сумме они дают h, и относятся, как b/a)
Отсюда высота треугольника ABE равна H - h*a/(a + b) = H*(1 - (a - b)/(a + b))
То есть отношение высот подобных треугольников ABE и MPE равно
1 - (a - b)/(a + b) = 4/5; (если подставить a = 24; b = 16)
поэтому AB = MP*4/5 = 96/5 = 19,2