Question

Периметр прямо угольного треугольника = 40 см а радиус вписанной в этот треугольник окружности = 0,5 см. найти радиус описанной около треугольника окружности.

Answer 1

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади этого треугольника к его полупериметру: $r=\dfrac{S}{p}$ .
Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов. Перепишем формулу: $r=\dfrac{S}{p}= \dfrac{ \dfrac{1}{2} ab}{ \dfrac{a+b+c}{2} }=\dfrac{ab}{a+b+c}$ .
(Здесь $a$ и $b$ - катеты, $c$ - гипотенуза.)

Преобразуем числитель: $ab= \dfrac{2ab}{2} =\dfrac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\dfrac{(a+b)^2-c^2}{2} = \dfrac{(a+b-c)(a+b+c)}{2}$ .

Подставляем:
 $r=\dfrac{ \dfrac{1}{2} (a+b-c)(a+b+c)}{a+b+c}= \dfrac{1}{2} (a+b-c) .$ 

Значит, $a+b-c=2r$ . Но в то же время $a+b+c=2p=P$ .

Получаем систему уравнений: $\begin{cases} & a+b+c=40 \\ & a+b-c=1 \end{cases}$ 
Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2c=39$ , откуда $c=19,5$ см.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы этого треугольника. Получаем, что $R=19,5:2=9,75$ см.