Question

Впрямоугольной трапеции abcd биссектриса острого угла при основании ad пересекает боковую сторону ab в точке m. найдите угол cmd, если cd=ad+bc.

Answer 1

Рассмотрите предложенное решение, если есть более краткий вариант, воспользуйтесь им.
Кратко ход решения сводится к следующему алгоритму:
1) найти сторону АВ;
2) найти синус/косинус угла D, из которого проведена биссектриса;
3) найти косинус/синус половинного угла (∠D/2), из которого проведена биссектриса;
4) найти стороны треугольника CMD;
5) по т. косинусов найти косинус искомого угла

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно использовать знания о геометрии, включая свойства треугольников, равенство углов и биссектрису.

Для начала, давайте визуализируем данную задачу. У нас есть впрямоугольная трапеция abcd. Найдем точку n на стороне ad, такую что dn=ad. Тогда по условию дано, что cd=ad+bc.

a _______b
/ \
/ \
/_____________\
d c

Также, по условию, биссектриса острого угла при основании ad пересекает сторону ab в точке m.

m
/ \
/ \
/_____\
d c

Для решения задачи, давайте посмотрим на треугольник cmd. Заметим, что треугольник cmd является прямоугольным, так как угол cdm образован пересекающимися биссектрисой и прямым углом треугольника adn, их основаниями являются противоположные стороны трапеции abcd.

Теперь, чтобы найти угол cmd, давайте воспользуемся свойством биссектрисы треугольника. Мы знаем, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на две отрезка, пропорциональные другим двум сторонам треугольника. То есть, нам нужно найти отношение между отрезками bm и ma, зная что bm=mn.

Для начала, построим отрезок cm. Так как cd=ad+bc, то сможем также найти отрезок cn, зная что dn=ad и сd=ad+bc.

Теперь, давайте применим свойство биссектрисы. Мы знаем, что отношение отрезков bm и ma равно отношению сторон bc и ca треугольника abd. То есть, bm/ma = bc/ca.

Также, мы можем найти отношение отрезков cn и na, зная что cn=cd-dn=cd-ad=bc и an=dn=ad. Таким образом, cn/na = bc/an = bc/dn.

Поскольку bm=mn, то отношение bm/ma также равно отношению mn/ma. Таким образом, mn/ma = bc/ca.

Из двух полученных отношений, мы можем сделать вывод, что mn/ma = cn/na. А это означает, что треугольники cmd и cna подобны (по признаку подобия треугольников).

Теперь, будучи подобными треугольниками, у них соответственные углы равны. Значит, угол cmd равен углу cna.

Таким образом, чтобы найти угол cmd, нам нужно найти угол cna.

Исходя из того, что треугольник adn является прямоугольным (так как он прямоугольная трапеция abcd), угол dan равен 90 градусам.

Зная, что треугольники adn и acm подобны (по признаку подобия треугольников), мы можем использовать свойство подобных треугольников, что соответственные углы треугольников подписываются одинаковыми символами.

Таким образом, угол cna равен углу dan, то есть 90 градусам.

Следовательно, угол cmd также равен 90 градусам.