Question

Впрямоугольный треугольник авс вписана окружность, которая соприкасается с гипотенузой треугольника в точке d, и в этой точке делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. найти длину катетов треугольника, если радиус вписанной окружности равен 3 см.

Answer 1

Пусть дан ΔАВС
∠В = 90°
т.О - центр вписанной окружности
D, M, K - точки касания
OD = 3 cм
AD = 5 cм
DС = 12 см
Найти: АВ, ВС

АВ, ВС и АС - касательные к окружности с центром в т.О
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ⇒
АМ = AD = 5 cм
СК = СD = 12 см
ВМ = ВК = х см

АВ = х + 5
ВС = х+12
АС = 5 + 12 = 17 см
По теореме Пифагора:
$(x+5)^2+(x+12)^2=17^2\\ x^2+10x+25+x^2+24x+144=289\\ 2x^2+34x+169-289=0\\ 2x^2+34x-120=0 \ \ |:2 \\ x^2+17x-60=0 \\ D=289+240=529=23^2 \\ x_1= \frac{-17-23}{2}=-20 \ \ \ \ \O \\ x_2= \frac{-17+23}{2} =3$

АВ = х + 5 = 3 + 5 = 8 см
ВС = х+12 = 3 + 12 = 15 см

ответ: 8 см и 15 см.