Рассмотрим ∆ АВН.
Угол ВАD=60°, АВ=АН/sin 60°=√3:(√3/2)=2 ⇒ АН=АВ•cos60°=2•0,5=1
Из прямоугольного ∆ ВНD по т.Пифагора ВD²=BH²+DH²=3+9=12
Найдем АС.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
ВD²+АС²=2•( AB²+AD²)
12+AC²+2•(4+16) ⇒ AC² =28 откуда AC=2√7 см
Опустим высоту СК на продолжение стороны АD.
∆ ABH=∆ CDK ( равные соответственные углы при А и D и равные катеты ВН=СК).⇒
AK=AD+DK=5⇒
АС=√(CK²+AD²)=√28=2√7 см
теорема косинусов, (угол АВD=180°-60°=120°). Вычисления приводить не буду, они дадут тот же результат.
Углы данного шестиугольника равны, следовательно, он выпуклый. Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле N=180°(n-2), где N –сумма углов, n - количество сторон, а, значит, и углов.
N=180°•(6-2)=720°.
Каждый из равных углов шестиугольника равен 720°:6=120° .
Продлим А₂А₃ и А₄А₅ до их пересечения в точке К.
Продлим А₄А₅ и А₁А₆ до их пересечения в точке М.
Продлим А₄А₃ и А₁А₂ до их пересечения в точке С.
Сумма внутреннего и внешнего угла при каждой из вершин выпуклого многоугольника составляет развернутый угол = 180°.
Углы, смежные с углами при вершинах шестиугольника, равны 180°-120°=60°.
Тогда в ∆ А₂СА₃, ∆ А₃КА₄ и ∆ А₅МА₆ углы при их основаниях (сторонах шестиугольника) равны 60°, и
∆ А₂СА₃, ∆ А₃КА₄ и ∆А₅МА₆ – равносторонние.
∠КА₄А₃=∠КМА₁, они соответственные при пересечении СА₄ и А₁М секущей КМ. Равенство соответственных углов при пересечении двух прямых третьей - признак параллельности ⇒
СА₄║МА₁.
Аналогично из равенства накрестлежащих углов при А₄ и С доказывается КМ║СА₁.
Стороны четырехугольника СА₁МА₄ лежат на параллельных прямых, ⇒ они попарно параллельны.⇒ СА₄МА₁ - параллелограмм.
МА₁=СА₄=СА₃+А₃А₄=7
А₁М=СА₄=7
А₁А₆=7-А₆М=7-1=6.
То есть КТ=8 дм. ТЕ=в корне(6^2+8^2)=10 дм.