Напомним некоторые определения
Определение:
Окружностью с центром в точке О и радиусом R называют множество всех точек плоскости, удаленных от точки О на расстояние R (см. Рис. 1).
Рис. 1
Часть окружности называется дугой.
Дуга имеет угловое измерение.
Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла :
Рассмотрим примеры:
Рис. 2
Определение
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным.
Рис. 3
Задана окружность с центром О, вершина А лежит на окружности, стороны АВ и АС угла пересекают окружность в точках В и С, угол называется вписанным. Он опирается на дугу , эта дуга расположена внутри угла (см. Рис. 3).
2. Теорема о вписанном углеВписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (см. Рис. 4).
Рис. 4
Доказательство:
Рассмотрим несколько случаев.
Случай 1: точка О принадлежит лучу АС (см. Рис. 5).
Рис. 5
Доказать, что
Обозначим угол через , тогда угол также будет равен , так как треугольник равнобедренный, его стороны ОВ и ОА равны как радиусы окружности. Угол является внешним для треугольника , внешний угол равен сумме двух других углов, не смежных с ним, получаем: , то есть угловое измерение дуги есть . Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине измерения дуги, на которую он опирается.
Случай 2: точка О лежит внутри вписанного угла (см. Рис. 6).
Рис. 6
Доказать, что
Доказательство сводится к предыдущему случаю. Проведем диаметр AD, обозначим угол за и тогда дуга равна (объяснение см. случай 1). Угол за , тогда дуга равна (объяснение см. случай 1). Вся дуга равна:
Угол в свою очередь, равен .
Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Случай 3: точка О находится вне вписанного угла (см. Рис. 7).
Рис. 7
Доказать, что
Доказательство снова сводится к первому случаю. Проведем диаметр AD, обозначим угол через , тогда дуга (объяснение см. случай 1). Угол обозначим через , тогда дуга равна (объяснение см. случай 1). Дуга является разностью большой дуги и дуги :
Вписанный угол равен . Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Итак, теорема полностью доказана, все случаи рассмотрены. И теперь из этого вытекают важные следствия.
3. Следствия теоремы о вписанном углеСледствие 1:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой (см. Рис. 8).
Рис. 8
Угол равен , он вписанный и опирается на дугу , значит, дуга равна . Но на эту же дугу опираются много других углов, например, углы и , данные углы измеряются половиной градусной меры дуги, значит, они равны , как и угол .
Таким образом, получаем:
Следствие 2
Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (см. Рис. 9).
Рис. 9
Теорема о вписанном угле является ключом к доказательству многих других теорем и к решению многих задач.
4. Теорема о хордахПроизведение отрезков каждой из двух пересекающихся хорд есть величина постоянная.
Рис. 10
Доказать, что
Доказательство:
Рассмотрим треугольники и (см. Рис. 10). Данные треугольники подобны по равенству двух углов: равны вертикальные углы и ; вписанные углы и опираются на одну и ту же дугу . Выпишем соотношение подобия:
Применим свойство пропорции и преобразуем выражение:
, что и требовалось доказать.
Найти площадь трапеции.
Можно построить равновеликий треугольник АСД1 со сторонами 5, 9 и √34 и найти его площадь по формуле Герона, но одна сторона выражена корнем.
Поэтому находим косинус угла САД1.
cos(САД1) = (25+81-34)/(2*90 = 5*9) = 72/90 = 4/5.
Синус этого угла равен √(1-(16/25)) = √(9/25) = 3/5.
Тогда искомая площадь равна:
S = (1/2)*5*9*(3/5) = 27/2 = 13,5 кв.ед.
2) Дана трапеция с основаниями ВС =10 и АД =15, и с диагоналями АС = 2√61 и ВД = 3√41.
Найти её площадь и выяснить: можно ли в эту трапецию вписать окружность и описать около неё окружность?
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.
В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны.
Построим равновеликий треугольник АСД1 с боковыми сторонами как диагонали трапеции и основанием АД1 = 10 + 15 = 25.
Из точки С опустим перпендикуляр СЕ = Н (это высота и треугольника и трапеции).
Примем АЕ = х, ЕД1 = 25 - х.
По Пифагору Н² = АС² - х² = (СД1)² - (25 - х)².
Приравняем: АС² - х² = (СД1)² - (25 - х)² и подставим длины диагоналей.
244 - х² = 369 -625 + 50х - х².
50х = 500.
х = 500/50 = 10.
Так как АЕ = ВС, то угол А трапеции прямой.
Сторона АВ = Н = 12.
Сторона СД = √(12² + (15-10)²) = √(144 + 25) = √169 = 13.
ответ: S = ((10+15)/2)*12 = 25*6 = 150 кв.ед.
По окружностям - нет и нет.
3) Из условия вытекает, что трапецию можно отрезком СЕ, параллельным АД, разделить на 2 фигуры: АДСЕ с равными сторонами (это ромб с диагоналями а и в) и равнобедренный треугольник СЕВ (СЕ = ЕВ). Высота этого треугольника из подобия треугольников равна половине АС, то есть равна а/2.
Поэтому площадь заданной трапеции равна:
S = (1/2)a*b + (1/2)*(a/2)*b = (ab/2) + (ab/4) = 3ab/4.