Question

Отрезок прямой, соединяющей центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра, равен стороне основания. найти угол между смежными боковыми гранями пирамиды. (ответ: arccos (7/15))

Answer 1

Дана правильная треугольная пирамида. Примем ребро основания за 1.
Проведём осевое сечение пирамиды через боковое ребро.
Для правильной треугольной пирамиды центр основания совпадает с проекцией вершины на основание и точкой пересечения медиан основания (а также высот и биссектрис).
Заданный отрезок прямой, соединяющей центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра и равный стороне основания, - это медиана прямоугольного треугольника.
Поэтому боковое ребро как гипотенуза в 2 раза больше этого отрезка, то есть равно 2.
Проекция бокового ребра на основание равна (2/3) высоты основания или равно (2/3)*1*cos 30° = (2√3)/(3*2) = √3/3.
Высота основания равна: h = a*cos30° = √3/2.
Косинус угла α наклона бокового ребра к основанию равен:
cos α = (√3/3)/2 = √3/6.
Синус этого угла равен:
sin α = √(1 - (√3/6)²) = √(1-(3/36) = √33/6.
Опустим перпендикуляр из середины ребра основания на боковое ребро. Это будет высота h в равнобедренном треугольнике сечения, перпендикулярном боковому ребру. Угол между его боковыми сторонами и будет искомым углом β между смежными гранями.
Высота h сечения равна произведению высоты основания на синус α.
h = (√3/2)*(√33/6) = √99/12 =√11/4.
Боковые стороны в треугольника перпендикулярного сечения равны:
в = √((а/2)² + h²) = √((1/4) + (11/16)) = √15/4.
Искомый угол β между гранями находим по теореме косинусов:
cos β = (√15/4)² + (√15/4)² - 1²)/(2*(√15/4)*(√15/4)) = 14/30 = 7/15.
Этому косинусу соответствует угол  1,085278 радиан или 62,18186°. 

Этот же угол можно было определить через двойной угол, тангенс которого равен отношению половины стороны основания к высоте h.
β = 2arc tg((1/2)/(√11/4)) = 2arc tg(2√11/11).