Построим два круга радиусом 7см с центром О1, и радиусом 2см с центром О2.Соединим их отрезком О1О2=13см и проведём общую касательную к этим кругам. Касательная пройдёт между кругами пересекая О1О2 в точке С. И будет иметь точки касания А в первом круге( R=7), и точку В втором. Треугольники АО1С и ВО2С подобны как прямоугольные с равным острым углом( уголО1СА=углу ВСО2). Углы А и В прямые поскольку радиусы О1А и О2В перпендикулярны касательной АВ. Отсюда О1А/О1С=О2В/О2С. Или 7/Х=2/13-Х. Отсюда О1С=х=10,11. О2С=13-Х=2,89. По теореме Пифагора АС=корень из(О1Сквадрат-О1Аквадрат)=корень из(11,11квадрат-7квадрат)=7,29. ВС=корень из(О2Сквадрат-О2Вквадрат)=корень из(2,89квадрат-2 квадрат)=2,09. Отсюда длина общей касательной АВ=АС+ВС=7,29+2,09=9,38.
Пусть имеем две окружности с центрами O и Q, AB- касательная, которая касается окружностей в т. A и B, BO=7, AQ=2, OQ=13. Из точки Q на BO проведем перпендикуляр QK, тогда ABKQ- прямоугольник, так как углы A и B - прямые по условию, а угол K=90 градусов по построению, тогда AQ=BK и AB=QK
OK=OB-BK
OK=7-2
OK=5
Из прямоугольного треугольника QKO по теореме Пифагора
(QK)^2=(QO)^2-(OK)^2=(13)^2-5^2=169-25=144
QK=12
а значит и AB длина общей касательной равна 12