Втрапеции abcd основания ad и bc равны 15 и 5 соответственно.точка p-пересечение диагоналей.найти отношение площади трапеции abcd к площади треугольника apd.
ΔAPD ~ ΔBPC все три угла в этих треугольниках равны ∠APD = ∠BPC как вертикальные ∠PAD = ∠PСB как накрест лежащие при параллельных основаниях трапеции и секущей АС ∠PDA = ∠PBС как накрест лежащие при параллельных основаниях трапеции и секущей BD коэффициент подобия равен отношению оснований k = AD/BC = 15/5 = 3 Высоты этих треугольников h₁ и h₂, проведённые к основаниям трапеции, тоже относятся как коэффициент подобия и в сумме дают высоту трапеции h k = h₁/h₂ h₂ = h₁/k h₁ + h₂ = h h₁ +h₁/k = h h₁(1+1/k) = h h₁*4/3 = h S(ABCD) = 1/2*(15+5)*h = 10h = 10*h₁*4/3 = 40/3*h₁ S(APD) = 1/2*15*h₁ = 15/2*h₁ S(ABCD)/S(APD) = 40/3*h₁/(15/2*h₁) = 40/3*2/15 = 80/45 = 16/9
Нужно сначала построить треугольник АВС; строится он по единичным векторам (ортам), сначала строится АВ: по векторам 3е1-4е2; по сути это маленький прямоугольный треугольник с катетами 3е1 и -4е2; т.е. АВ - гипотенуза и равна она 5е1 или 5е2 (т.к. е1 и е2 - орты, то е1=е2)
Точно так же строишь сторону ВС, она так же является маленькой гипотенузой с катетами е1 и 5е2, и равна она (26)^1/2*е (т.е. квадратный корень из 26 умноженной на е).
Теперь стороны АВ и ВС надо совместить (см. рисунок в приложении) Получился треугольник АВС. Проводим высоту СН, у нас появился прямоугольный треугольник СНВ, чтобы найти СН, при известной стороне ВС нужно знать угол АВС (тогда через синус посчитается), но угол АВС это сумма углов Альфа и Бетта.
А угол Альфа - это угол прямоуг треугольника с катетами 3е и -4е; т.е. синус альфа=3е/АВ=3/5, т.е. (по таблице Брадиса) это 37 градусов,
А угол Бетта - это угол прямоугольного треугольника с катетами е1 и 5е2, и гипотенузой ВС. Тут легче посчитать через тангенс; тангенс Бетта=е1/5е2=1/5, т.е. Бетта=11 градусов (по таблице Брадиса)
Таким образом угол АВС=11+37=48 градусов.
Теперь рассматриваем прямоуг треуг СНВ, где ВС - гипотенуза, СН - катет, и есть угол АВС=48 град, т.е. синус АВС=СН/ВС СН=ВС*синусАВС
Т. к. уголмра=60 градусов и МР=РА, то треугольник МРА – правильный, т.е. МР = РА = МА., и все его углы равны 60 градусов. Следовательно, угол МАК равен 180 градусов минус угол РАМ=60, т.е. 180-60=120 градусов. Т.к. у параллелограмма стороны равны, то РК=МН, и т.к. РА=ВН, РК=РА+АК=ВН+АК, но МН=МВ+ВН, итак ВН+АК=МВ+ВН, а значит АК=МВ. Таким образом у четырёх угольника стороны МВ и АК параллельны и равны, следовательно МАКВ – параллелограмм. Значит углы МВК = МАК = 120 градусов. Тогда углы АМВ=АКВ=(360 - 2*120)/2=60 градусов. ответ углы МАК=МВК=120, АМВ=АКВ=60 градусов.
∠APD = ∠BPC как вертикальные
∠PAD = ∠PСB как накрест лежащие при параллельных основаниях трапеции и секущей АС
∠PDA = ∠PBС как накрест лежащие при параллельных основаниях трапеции и секущей BD
коэффициент подобия равен отношению оснований
k = AD/BC = 15/5 = 3
Высоты этих треугольников h₁ и h₂, проведённые к основаниям трапеции, тоже относятся как коэффициент подобия и в сумме дают высоту трапеции h
k = h₁/h₂
h₂ = h₁/k
h₁ + h₂ = h
h₁ +h₁/k = h
h₁(1+1/k) = h
h₁*4/3 = h
S(ABCD) = 1/2*(15+5)*h = 10h = 10*h₁*4/3 = 40/3*h₁
S(APD) = 1/2*15*h₁ = 15/2*h₁
S(ABCD)/S(APD) = 40/3*h₁/(15/2*h₁) = 40/3*2/15 = 80/45 = 16/9