Окружность, вписанная в правильный треугольник
Окружность, вписанная в правильный треугольник, помимо свойств вписанной в произвольный треугольник окружности, обладает своими собственными свойствами.
1) Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.
Поскольку в равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают, то центр вписанной в правильный треугольник окружности является точкой пересечения не только его биссектрис, но также медиан и высот.
okruzhnost-vpisannaya-v-pravilnyj-treugolnikНапример, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a
точка O — центр вписанной окружности.
AK, BF и CD — биссектрисы, медианы и высоты треугольника ABC.
\[AK \cap BF = O,\]
\[AK \cap CD = O.\]
2) Расстояние от центра вписанной окружности до точки касания её со стороной треугольника равно радиусу. Так как центр вписанной в правильный треугольник окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен одной третьей длины медианы:
\[OF = \frac{1}{3}BF,\]
\[r = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]
Таким образом, формула для радиуса вписанной в правильный треугольник окружности
\[r = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]
Обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:
Объяснение:
BK - высота, биссектриса и медиана ⇒
∠AKB = 90°; ∠ABK = ∠B/2 = 120°/2 = 60°; AK = 4/2 = 2
∠ABH смежный ∠B ⇒ ∠ABH = 180° - ∠B = 180°-120° = 60°
ΔABH прямоугольный: ∠AHB = 90°; ∠ABH = 60°
ΔAKB прямоугольный: ∠AKB = 90°; ∠ABK = 60°
⇒ ΔABH = ΔAKB по общей гипотенузе AB и равным острым углам
⇒ AH = AK = 2
ответ: AH = 2 см