Для решения этой задачи, давайте разобьем ее на несколько шагов.
Шаг 1: Найдем высоту, на которой плоскость пересекает шар.
Для этого, мы можем использовать теорему Пифагора, так как у нас есть две известные стороны: радиус шара (r) и расстояние от центра шара до плоскости (r/3). По теореме Пифагора, мы можем записать уравнение:
(r/3)^2 + h^2 = r^2,
где h - искомая высота. Раскроем скобки и упростим это уравнение:
r^2/9 + h^2 = r^2.
Перенесем r^2/9 на другую сторону:
h^2 = r^2 - r^2/9.
Общий знаменатель в правой части уравнения:
h^2 = (9r^2 - r^2)/9.
Упрощаем дробь:
h^2 = 8r^2/9.
Избавляемся от квадратного корня:
h = sqrt(8r^2/9).
Шаг 2: Найдем объем сегмента.
Объем сегмента шара можно выразить через площадь основания (S) и высоту (h) сегмента:
V = (1/3)S*h.
У нас есть данные для нахождения площади основания сегмента. Так как плоскость параллельна основанию шара, площадь основания сегмента будет равна площади круга радиуса r минус площади круга радиуса r/3:
S = πr^2 - π(r/3)^2,
S = πr^2 - πr^2/9,
S = (9πr^2 - πr^2)/9,
S = (8πr^2)/9.
Теперь, мы можем подставить это значение площади основания в формулу для объема:
V = (1/3)((8πr^2)/9)*sqrt(8r^2/9).
Шаг 3: Найдем объем целого шара.
Объем шара можно выразить через его радиус:
V_шара = (4/3)πr^3.
Шаг 4: Найдем долю объема сегмента в общем объеме шара.
Для этого, мы можем разделить объем сегмента на объем шара:
Доля = V / V_шара.
Давайте подставим значения, которые мы нашли:
Доля = ((1/3)((8πr^2)/9)*sqrt(8r^2/9)) / ((4/3)πr^3).
Доля = ((2*8πr^2*sqrt(8r^2/9))/18) / ((4πr^3)/3).
Мы можем упростить это выражение:
Доля = (16/18)*sqrt(8r^2/9) / (4r^3/3),
Доля = (8/9)*sqrt(8r^2/9) / (r^3/3).
Доля = (8/9)*(sqrt(8r^2)/sqrt(9)) / (r^3/3).
Доля = (8/9)*((2r*sqrt(2))/3) / (r^3/3).
Доля = (16/27)*(r*sqrt(2))/r^3.
Общая доля объема сегмента в объеме шара составляет (16/27)*(r*sqrt(2))/r^3.
