В основании правильной треугольной пирамиды ABCS лежит правильный, то есть равносторонний треугольник ABC со стороной a = 6√3. Его медиана, она же высота и биссектриса, m = a*√3/2 = 6√3*√3/2 = 9. Все три медианы пересекаются в центре O, OA = 2/3*m = 6. Так как боковые ребра наклонены под 45° к плоскости основания (то есть к медианам), то треугольник AOS - прямоугольный и равнобедренный. Высота H = OS = OA = 6
Пусть наименьший из углов равен х, а величина возрастания каждого последующего угла - у. х+х+у+х+2у=180 ⇒ 3х+3у=180 ⇒ у=60-х. Запомним это.
Теперь тем же запишем сумму всех шести углов, сумма которых будет равна 180+360=540°. х+х+у+х+2у+х+3у+х+4у+х+5у=540, 6х+15у=540, 6х+15(60-х)=540, 6х+900-15х=540, 9х=360, х=40, у=60-40=20.
Последовательный ряд всех углов: 40°, 60°, 80°, 100°, 120°, 140°. Сумма внутренних углов: 40+60+80=180°, Сумма внешних углов: 100+120+140=360°. (этот абзац можно не писать, просто проверка).
Если центр окружности соединить с вершинами данного треугольника, то он (данный треугольник) поделится на 3 новых треугольника. Теперь площадь исходного треугольника можно представить в виде суммы площадей 3х новых треугольников S= s1+ s2+ s3; Пусть стороны исходного треугольника равны x y и t, тогда x+ y+ t= 16; s1= x/2* h; s2= y/2* h; s3= t/2* h; у всех трёх треугольников h является радиусом (по свойству касательной к окружности). Если по условию x+ y+ t= 16, то x/2+ y/2+ t/2= 16/2= 8; S= s1+ s2+ s3= x/2* h+ y/2* h+ t/2*h= h(x/2+ y/2+ t/2)= 2*8= 16
то есть равносторонний треугольник ABC со стороной a = 6√3.
Его медиана, она же высота и биссектриса, m = a*√3/2 = 6√3*√3/2 = 9.
Все три медианы пересекаются в центре O, OA = 2/3*m = 6.
Так как боковые ребра наклонены под 45° к плоскости основания (то есть к медианам), то треугольник AOS - прямоугольный и равнобедренный.
Высота H = OS = OA = 6