1. Соединим точки Е и F, так как они лежат в одной грани, так же точки F и К.
A₁F = AK как половины равных ребер,
A₁F║ AK, так как лежат на противоположных сторонах прямоугольника,
∠A₁АК = 90°, ⇒ A₁FKА - прямоугольник, значит
FK ║ AA₁, а значит FK ║ (АА₁В).
Секущая плоскость (EFK) проходит через FK и пересекает плоскость (АА₁В), значит линия пересечения параллельна прямой FK.
(Теорема: Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой)
Проведем ЕТ ║ АА₁, тогда ЕТ ║ FK.
EFKT - искомое сечение.
АА₁ ⊥ (АВС) , FK ║ АА₁, значит FK⊥(АВС).
Так как сечение проходит через прямую, перпендикулярную плоскости основания, то оно перпендикулярно плоскости основания,
(EKF) ⊥ (АВС).
2. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:
A₁C² = AB² + AA₁² + AD²
AD = √(A₁C² - AB² - AA₁²) = √(56 - 16 - 36) = √4 = 2
ABCD - параллелограмм, AB = CD = 4 см, AD = BC = 6 см, угол BAD = 30 градусов. Из вершины В проведем к стороне AD высоту ВН.
Рассмотрим треугольник AHB: угол АНВ = 90 градусов, так как ВН - высота, угол ВАН = угол BAD = 30 градусов, АВ = 4 см - гипотенуза, так как лежит напротив прямого угла, АН и ВН - катеты.
Из свойств прямоугольного треугольника: катет, лежащий напротив угла, равного 30 градусов, равен половине гипотенузы.
В треугольнике АНВ напротив угла ВАН лежит катет ВН, тогда: ВН = АВ/2 = 4/2 = 2 (см). Площадь параллелограмма находится по формуле: S = ah, где а - сторона параллелограмма, h - высота, проведенная к стороне а. S = AD*BH = 6*2 = 12 (см^2). ответ: S = 12 см^2.