Отрезок BC виден из точек С1 и B1 под прямым углом - точки B, C1, B1, C лежат на окружности c центром в середине BC.
B1BC1 =C1CB1
A1BC1H, A1CB1H - вписанные четырехугольники (т.к. противоположные углы прямые).
HA1C1 =HBC1, HA1B1=HCB1 => HA1C1=HA1B1
(т.е. высота AA1 треугольника ABC является биссектрисой угла A1 ортотреугольника A1B1C1)
∪B1C1 =2B1BC1 =A1 =44
Если треугольник остроугольный, найдем BAC как угол между секущими:
BAC =∪BC/2 -∪B1C1/2 =90-22 =68
Если треугольник тупоугольный - рассмотрим △HBC - найдем BHC как угол между хордами:
BHC =∪BC/2 +∪B1C1/2 =90+22 =112
---------------------------------
М - середина BC. B1MC1 =∪B1C1 (центральный угол) =A1, т.е. M лежит на описанной окружности △A1B1C1.
Аналогично для всех середин сторон △ABC и середин сторон △AHB, △BHC, △AHC (для этих треугольников △A1B1C1 является ортотреугольником).
Описанная окружность ортотреугольника называется окружностью девяти точек или окружностью Эйлера (основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершины лежат на одной окружности).
Четырёхугольник ABCD — параллелограмм (не прямоугольник!).
Точка Е Є ВС.
ВЕ : ЕС = 2 : 3.
Отрезки BD и АЕ пересекаются в точке М.
МD = 15 см.
Найти:BD = ?
Решение:Пусть отрезок ВЕ = 2х, тогда отрезок ЕС = 3х.
Тогда ВС = ВЕ+ЕС = 2х+3х = 5х.
ВС = AD = 5x (по свойству параллелограмма).
Рассмотрим ∆ВЕМ и ∆AMD.
Так как отрезок ВЕ лежит на стороне ВС, а ВС||AD (по определению параллелограмма), то отрезок ВЕ||AD.
<ВМЕ = <AMD (так как вертикальные).
<MAD = <MEB (накрест лежащие углы при параллельных прямых ВЕ и AD).
Тогда —
∆ВЕМ ~ ∆AMD по двум равным углам (первый признак подобия треугольников).
Отношение сходственных сторон равно коэффициенту подобия. Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.
То есть —
AD / BE = k
5x / 2x = k
k = 2,5.
Обозначим ВМ за у.
у и MD — сходственные стороны.
Тогда —
MD / y = k
15 см / у = 2,5
2,5у = 15 см
у = 6 см.
ВD = BM+MD = y+15 см = 6 см+15 см = 21 см.
ответ:D) 21 см.
Треугольники MFA и DFC подобны по двум углам (∠MAF = ∠FCD; MFA и CFD вертикальные углы)
Значит AM/CD = AF/FC = 3x/7x = 3/7;
У треугольников AFD и FDC общая высота из точки D, поэтому отношение площадей этих треугольников равно отношению оснований, на которые опущена общая высота, т.е. равно отношению AF/FC = 3/7;
Пусть площадь треугольника DFC равна S; Тогда S = 7*63/3 = 147;
ответ: 147