Question

Втреугольнике abc со сторонами ab=6; bc=7; ca=8. точки a1 и c1 - основания высот, опущенных из вершин a и c соответственно; h - точка пересечения этих высот. найдите длины диагоналей четырехугольника a1hc1b. ,

Answer 1

Рассмотрим угол ABA₁; С одной стороны $\cos \angle ABA_{1} = \frac{BA_{1}}{AB}$; С другой $\cos \angle ABA_{1}= \frac{C_{1}B}{BC}$; Получаем $\frac{C_{1}B}{BC}=\frac{BA_{1}}{AB}$, Значит треугольники C₁BA₁ и ABC подобны по общему углу ABA₁ и двум пропорциональным сторонам, причем коэффициент подобия равен косинусу общего угла. Найдем косинус угла по теореме косинусов.
$6^{2}+7^{2}-2\times 6\times 7 \times \cos \angle ABA_{1} = 64 \Leftrightarrow \cos \angle ABA_{1} = 0,25$; Поэтому $\frac{A_{1}C_{1}}{AC}= \cos \angle ABA_{1} = 0,25 \Leftrightarrow A_{1}C_{1}=AC\cos \angle ABA_{1}=8 \times0,25=2$; Отсюда $BC_{1}=\frac{7}{4}$; $C_{1}C^{2}=49- \frac{49}{16}$; $C_{1}A=\sqrt{64-49+\frac{49}{16}}= \frac{17}{4}$; Треугольники C₁AH и A₁HC подобны по двум углам. $\frac{C_{1}A}{A_{1}C}= \frac{AH}{HA_{1}}= \frac{17}{22}$; При этом $AA_{1}= \frac{3\sqrt{15}}{2}$; Значит $HA_{1}= \frac{3\sqrt{15}}{2}\div(1+ \frac{17}{22})= \frac{11\sqrt{15}}{2}$, откуда $BH= \sqrt{ \frac{9}{4}+ (\frac{11\sqrt{15}}{2})^{2}}=2\sqrt{114}$