)катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см. с вершины прямого угла опущен перпендикуляр на плоскость β, проходящей через гипотенузу и образует угол 30 градусов с плоскостью треугольника. найдите длину перпендикуляра.
Найдём высоту СК, опущенную из прямого угла на гипотенузу А.
Она равна h=ab/c , где а и b - катеты, с - гипотенуза.
с=АВ=√(АС²+ВС²)=√(24²+7²)=25
h=СК=(АС·ВС)/АВ=(24·7)/25=6,72
Проведём СН⊥пл.β , соединим точку К с точкой Н. Получим ΔСКН.
∠СНК=90°, т.к. СН⊥ пл.β, а значит любой прямой, лежащей в этой пллоскости, в том числе и прямой КН.
∠СКН=30°, т.к. угол между плоскостями β и АВС равен углу между перпендикулярами в этих плоскостях, проведёнными из точки К, лежащей на линии пересечения АВ этих плоскостей: СК⊥АВ как высота ΔАВС, проведённая из т.С, КН⊥АВ по теореме о трёх перпендикулярах (СК - наклонная, СН⊥КН, СН - проекция наклонной).
Катет СН лежит против угла в 30°, поэтому он равен половине гипотенузы: СН=6,72:2=3,36 .
1) Две точки прямоугольника- (1;1), (10;1) расположены на высоте 1 (то есть, координата y=1). Ещё две точки (1;7), (10;7) расположены на высоте 7 (то есть, координата y=7).
Расстояние по оси y между этими парами точек равно a = 7 - 1 = 6. Это первая сторона прямоугольника.
Расстояние по оси x между точками в каждой паре равно b = 10 - 1 = 9. Это вторая сторона прямоугольника.
Перемножив стороны, найдём площадь этого прямоугольника: S = a * b = 6 * 9 = 54
2) В этом треугольнике сторона с вершинами (1;6), (9;6) параллельна оси x, так как точки имеют одинаковую координату y. А сторона с вершинами (9;6), (9;9) - параллельна оси y, так как точки имеют одинаковую координату x.
Следовательно, угол между этими сторонами- прямой. Значит, наш треугольник- прямоугольный, а эти стороны являются его катетами. В прямоугольном треугольнике площадь равна половине произведения катетов.
Длина первой стороны равна разности координат x первой пары точек: a = 9 - 1 = 8 Длина второй стороны равна разности координат y второй пары точек: b = 9 - 6 = 3
Вычислим площадь треугольника: S = a * b / 2 = 8 * 3 / 2 = 12
Для наглядности, приложу картинки с этими фигурами, построенными в системе координат.
1) Две точки прямоугольника- (1;1), (10;1) расположены на высоте 1 (то есть, координата y=1). Ещё две точки (1;7), (10;7) расположены на высоте 7 (то есть, координата y=7).
Расстояние по оси y между этими парами точек равно a = 7 - 1 = 6. Это первая сторона прямоугольника.
Расстояние по оси x между точками в каждой паре равно b = 10 - 1 = 9. Это вторая сторона прямоугольника.
Перемножив стороны, найдём площадь этого прямоугольника: S = a * b = 6 * 9 = 54
2) В этом треугольнике сторона с вершинами (1;6), (9;6) параллельна оси x, так как точки имеют одинаковую координату y. А сторона с вершинами (9;6), (9;9) - параллельна оси y, так как точки имеют одинаковую координату x.
Следовательно, угол между этими сторонами- прямой. Значит, наш треугольник- прямоугольный, а эти стороны являются его катетами. В прямоугольном треугольнике площадь равна половине произведения катетов.
Длина первой стороны равна разности координат x первой пары точек: a = 9 - 1 = 8 Длина второй стороны равна разности координат y второй пары точек: b = 9 - 6 = 3
Вычислим площадь треугольника: S = a * b / 2 = 8 * 3 / 2 = 12
Для наглядности, приложу картинки с этими фигурами, построенными в системе координат.
ΔАВС , ∠С=90° , С=24 см , ВС=7 см .
Найдём высоту СК, опущенную из прямого угла на гипотенузу А.
Она равна h=ab/c , где а и b - катеты, с - гипотенуза.
с=АВ=√(АС²+ВС²)=√(24²+7²)=25
h=СК=(АС·ВС)/АВ=(24·7)/25=6,72
Проведём СН⊥пл.β , соединим точку К с точкой Н. Получим ΔСКН.
∠СНК=90°, т.к. СН⊥ пл.β, а значит любой прямой, лежащей в этой пллоскости, в том числе и прямой КН.
∠СКН=30°, т.к. угол между плоскостями β и АВС равен углу между перпендикулярами в этих плоскостях, проведёнными из точки К, лежащей на линии пересечения АВ этих плоскостей: СК⊥АВ как высота ΔАВС, проведённая из т.С, КН⊥АВ по теореме о трёх перпендикулярах (СК - наклонная, СН⊥КН, СН - проекция наклонной).
Катет СН лежит против угла в 30°, поэтому он равен половине гипотенузы: СН=6,72:2=3,36 .
ответ: длина перпендикуляра СН=3,36 см.