Пусть BC=a, AC=b, AB=c, P=a+b+c и r - радиус вписанной окружности. Тогда т.к. cos(ABC)=1/2, то по т. косинусов b²=a²+c²-aс. Кроме того, a²+c²=(a+c)²-2ac=(P-b)²-2ac, значит подставляя это в т. косинусов, получим b²=(P-b)²-2ac-aс, откуда ac=((P-b)²-b²)/3=(P-2b)P/3. Значит площадь S треугольника ABC равна S=(1/2)*ac*sin(60°)=(P-2b)P/(4√3)=P*r/2, откуда r=(P-2b)/(2√3)=(15-2·6)/(2√(3π))=√3/(2√π). Значит площадь вписанного круга равна π·r²=π·3/(4π)=3/4.
более короткий). Если обозначить через x,y,z отрезки на которые точки касания вписанной окружности разбивают стороны треугольника, то получим x+y+z=P/2 и x+y=b, откуда z=P/2-b. Т.к центр впис. окружности лежит на биссектрисе угла в 60 градусов, то r=z·ctg(30°)=(P-2b)/(2√3).
AA₁ = 9 см
ВВ₁ = 12 см
СС₁ = 15 см
Объяснение:
Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Обозначим ОА₁ - х, тогда ОА = 2х,
ОВ₁ = у, тогда ОВ = 2у.
Из двух прямоугольных треугольников АОВ и АОВ₁ составим уравнения по теореме Пифагора.
4x² + 4y² = 100
4x² + y² = (2√13)² = 52
Вычтем из первого уравнения второе:
3y² = 48
y² = 16
y = 4
4x² = 100 - 4y²
x² = 25 - y²
x = √(25 - 16)
x = 3
AA₁ = 3x = 9 см
ВВ₁ = 3у = 12 см
ОС₁ - медиана прямоугольного треугольника АОВ, проведенная к гипотенузе, значит равна ее половине:
ОС₁ = 1/2 AB = 5 см
СС₁ = 5 · 3 = 15 см