Question

Существует ли треугольник, у которого высоты 1, 2 и 3 см?

Answer 1

тема: "неравенство треугольника"

Sтреугольника = 0.5*a*1 = 0.5*b*2 = 0.5*c*3

к стороне (а) --высота (1); к стороне (b) --высота (2); к стороне (c) --высота (3)

a*1 = b*2 = c*3 (c --самая короткая сторона, высота к ней самая длинная)

итак, у нас треугольник со сторонами: (с); (b) = 1.5*c; (a) = 3*c

чтобы треугольник существовал, должно выполняться неравенство треугольника: длина любой стороны должна быть меньше суммы длин двух других сторон.

a < b+c

3c < 1.5c + c

3c < 2.5c --это неверно, такой треугольник НЕ существует...

Answer 2

А мы пойдём другим решения:

Пусть к стороне а проведена высота 1, к стороне b — высота 2, к стороне с — высота 3

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту

S = 1/2 × a × h1 = 1/2 × b × h2 = 1/2 × c × h3

S = 1/2 × a × 1 = 1/2 × b × 2 = 1/2 × c × 3

S = a / 2 = b = 3c / 2
______________

a / 2 = b => a = 2b

3c / 2 = b => с = 2b / 3
______________

Воспользуемся формулой Герона для нахождения площади треугольника:

$s = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} \\$
Где р = ( a + b + c ) / 2 - полупериметр ; a , b , c - стороны треугольника.

$p = ( \: a + b + c) \div 2 = (2b + b + \frac{2b}{3} ) \div 2 = \\ = \frac{11b}{3} \div 2 = \frac{11b}{6}$

$s = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{ \frac{11b}{6}( \frac{11b}{6} - 2b)( \frac{11b}{6} - b)( \frac{11b}{6} - \frac{2b}{3} ) } = \\ = \sqrt{ \frac{11b}{6} \times ( - \frac{b}{6} ) \times \frac{5b}{6} \times \frac{7b}{6} } \\$

По определению квадратного корня, подкоренное выражение всегда должно больше или равна нулю.

У нас подкоренное выражение отрицательное. Значит, площадь этого треугольника мы не сможем найти.

Из этого следует, что треугольник с высотами 1, 2 и 3 не существует

ОТВЕТ: не существует