Question

Радиусы вневписанных окружностей около треугольника равны 3, 4 и 5 соответственно. найдите стороны треугольника или докажите, что такого треугольника не существует.

Answer 1

Пусть имеем треугольник АВС и вневписанные окружности ra = 3, rb = 5, rc = 4.

Впишем в треугольник окружность с радиусом r.

Точки касания этой окружности стороны АС и rа к её продолжению соответственно В1 и В2.

Находим радиус вписанной окружности в треугольник АВС по известным радиусам вневписанных окружностей.

$\frac{1}{r} =\frac{1}{ra} +\frac{1}{rb} +\frac{1}{rc}$.

(1/r) = (1/3) + (1/4) + (1/5) = 47/60.

Получаем радиус вписанной окружности r = 60/47.

Центры окружностей О и О1 лежат на биссектрисе угла А.

Используем свойства вписанной и вневписанной окружностей.

Квадрат полупериметра р треугольника АВС равен:

р² = ra*rb + rb*rc + rc*ra = 3*5 + 5*4 + 4*3 = 47.

Отсюда р = √47.

Тогда площадь S треугольника АВС равна: S = rp = 3√47 ≈ 8,75189949.

Применим свойства: отрезок АВ2 = р, отрезок АВ1 = р - а.

Из подобия треугольников выводим пропорцию: r/АВ1 = rа/АВ2. Подставим значения: r/(р - а) = rа/р, или rр = rа(р - а).

Раскроем скобки и выделим а: а = р - (рr/rа) = (р(rа - r)/rа.

По аналогичным формулам находим стороны b и с.

Подставив значения, получаем:

а = 3,93835477 b = 5,105274702 c =4,667679728 .

Делаем проверку правильности найденных значений.

По формуле Герона S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)).

Подставив значения, находим S = 8,75190051 . что соответствует уже найденному значению.

Вторая проверка: по теореме косинусов угол А равен 47,26788996°.

С другой стороны А = 2arctg(ra/p) = 2arctg(3/√47) = 47,26788996 ° верно.