Пусть данная пирамида МАВС, МО - высота, точка О - центр треугольника; угол ОМА=45°
МО⊥плоскости основания, ∆ МОА - прямоугольный.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°, ⇒∠МАО=45°,
∆ АОМ - равнобедренный. АО=МО=12 см.
О - точка пересечения медиан ∆ АВС, и по свойству медианы АО:НО=2:1. Тогда высота основания АН=12:2•3=18 см
АС=АН:sin 60°=18:√3/2=36:√3•2=12√3
V=S•h:3
Формула площади правильного треугольника 
36•3•√3 см²
V=36•3•√3•12:3=432√3 см³
* * *
Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту. Пусть основание вписанной призмы – ∆ АВС, АВ - гипотенуза, АС =m, угол АВС=f.
.Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит в середине гипотенузы, а радиус равен её половине.
⇒ радиус основания цилиндра равен половине АВ.
АВ=m:sin f
R=0,5m:sin f
V=πr²•h
AC⊥PQ, MN||PQ => AC⊥MN
AF - медиана в △EAD
AF=ED/2 =AB (медиана из прямого угла равна половине гипотенузы)
△BAF - равнобедренный, ∠ABD=∠AFB
△AFD - равнобедренный, углы при AD равны
∠AFB=2∠ADB (внешний угол равен сумме внутренних, не смежных с ним)
∠ADB=∠DBC (накрест лежащие при MN||PQ)
∠ABD=∠AFB=2∠ADB=2∠DBC
∠ABC=∠ABD+∠DBC =3∠DBC <=> ∠DBC=∠ABC/3