Question

Основания пирамиды прямоугольника со сторонами 10 см и 18 см, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагонали и равна 12 см. найти площадь поверхности

Answer 1

Пусть $SABCD$ - четырёхугольная пирамида, в основании которой - прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AD = BC = 18$ см и $CD = AB = 10$ см. Точка $O$ - точка пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$. $SO = 12$ см - высота пирамиды $SABCD$.

Найти: $S_{_{\Pi}} - ?$

Решение. Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

$S_{_{\Pi}} = S_{_{\text{B}}} + S_{_{\text{O}}}$, где $S_{_{\text{B}}}$ - площадь боковой поверхности, $S_{_{\text{O}}} = AD \ \cdotp CD = 18 \ \cdotp 10 = 180$ см² - площадь основания.

$SO \bot (ABCD) \Rightarrow SO \bot OK$, $OK$ - проекция $SK$ на плоскость $(ABCD) \Rightarrow \Delta SOK$ - прямоугольный.

Аналогично, $\Delta SOM$ - прямоугольный.

$OK = \dfrac{AD}{2} = \dfrac{18}{2} = 9$ см.

Из $\Delta SOK (\angle SOK = 90^{\circ}):$ по теореме Пифагора

$SK = \sqrt{SO^{2} + OK^{2}} = \sqrt{12^{2} + 9^{2}} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ см.

$OM = \dfrac{CD}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$ см.

$S_{_{\Delta CSD}} = S_{_{\Delta BSA}} = \dfrac{1}{2} \ \cdotp SK \ \cdotp CD = \dfrac{1}{2} \ \cdotp 15 \ \cdotp 10 = 75$ см²

Из $\Delta SOM (\angle SOM = 90^{\circ}):$ по теореме Пифагора

$SM = \sqrt{SO^{2} + OM^{2}} = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

$S_{_{\Delta ASD}} = S_{_{\Delta BSC}} = \dfrac{1}{2} \ \cdotp SM \ \cdotp AD = \dfrac{1}{2} \ \cdotp 13 \ \cdotp 18 = 117$ см²

$S_{_{\text{B}}} = 2S_{_{\Delta CSD}} + 2S_{_{\Delta ASD}} = 2 \ \cdotp 75 + 2 \ \cdotp 117 = 384$ см².

$S_{_{\Pi}} = S_{_{\text{B}}} + S_{_{\text{O}}} = 384 + 180 = 564$ см².

ответ: 564 см².