Через середину o гипотенузы прямоугольного треугольного abc проведены прямые, параллельные его катетам. одна из них пересекает катет ac в точке m, а другая - катет bc в точке n. найдите гипотенузу ab, если mn = 7 см.
• BO = OА , OM || ВС Значит, АМ = МС => ОМ - средняя линия • ВО = ОА , ON || AC Значит, ВN = NС => ON - средняя линия • АМ = МС , ВN = NС Значит, MN - средняя линия , МN || АВ • АВ = 2 • MN = 2 • 7 = 14 см.
Параллелограмм АВСД, ВС=АД=15, ВМ=9, ВМ и СМ -биссектрисы, уголС=2х, уголВ=180-2х, уголМВС=уголМВА=(180-2х)/2=90-х, уголМСВ=уголМСД=2х/2=х, уголАМВ=уголМВС=90-х - как внутренние разносторонние=уголМВА, треугольник АВМ равнобедренный, АВ=АМ, уголДМС=уголМСВ=х - как внутренние разносторонние=уголМСД, треугольник МСД равнобедренный, МД=ДС, но ДС=АВ, значить АВ=АМ=МД=СД, точка М -середина АД, АМ=МД=15/2=7,5, уголВМС=180-уголАМВ-уголСМД=180-(90-х)-х=90, треугольник ВМС прямоугольный, треугшольник АВМ равнобедренный, АВ=АМ=7,5, ВМ=7,5, проводим высоту АН на ВМ, ВМ=медиане=биссектрисе, ВН=НМ=9/2=4,5, треугольник АВН прямоугольный, АН=корень(АВ в квадрате-ВН в квадрате)=корень(56,25-20,25)=6, площадьАВМ=1/2ВМ*АН=1/2*9*6=27, проводим высоту ВК на АМ, ВК=2*площадьАВМ/АМ=2*27/7,5=7,2, площадь параллелограмма=АД*ВК=15*7,2=108
Параллелограмм АВСД, ВС=АД=15, ВМ=9, ВМ и СМ -биссектрисы, уголС=2х, уголВ=180-2х, уголМВС=уголМВА=(180-2х)/2=90-х, уголМСВ=уголМСД=2х/2=х, уголАМВ=уголМВС=90-х - как внутренние разносторонние=уголМВА, треугольник АВМ равнобедренный, АВ=АМ, уголДМС=уголМСВ=х - как внутренние разносторонние=уголМСД, треугольник МСД равнобедренный, МД=ДС, но ДС=АВ, значить АВ=АМ=МД=СД, точка М -середина АД, АМ=МД=15/2=7,5, уголВМС=180-уголАМВ-уголСМД=180-(90-х)-х=90, треугольник ВМС прямоугольный, треугшольник АВМ равнобедренный, АВ=АМ=7,5, ВМ=7,5, проводим высоту АН на ВМ, ВМ=медиане=биссектрисе, ВН=НМ=9/2=4,5, треугольник АВН прямоугольный, АН=корень(АВ в квадрате-ВН в квадрате)=корень(56,25-20,25)=6, площадьАВМ=1/2ВМ*АН=1/2*9*6=27, проводим высоту ВК на АМ, ВК=2*площадьАВМ/АМ=2*27/7,5=7,2, площадь параллелограмма=АД*ВК=15*7,2=108
Значит, АМ = МС => ОМ - средняя линия
• ВО = ОА , ON || AC
Значит, ВN = NС => ON - средняя линия
• АМ = МС , ВN = NС
Значит, MN - средняя линия , МN || АВ
• АВ = 2 • MN = 2 • 7 = 14 см.
ОТВЕТ: 14