Question

Уже всю голову диаметры оснований усеченного конуса равны 4 и 6. найдите объем шара, вписанного в усеченный конус.

Answer 1

$V=\frac{4}{3}piR^{3}$

Рассмотрим усеченный конус в продольном сечении. Это равнобедренная трапеция с основаниями AD=b=6 см и BC=a=4 см.

В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон равны. т.е.:AB+DC= AD+BC или 2a= b+c

Бедро трапеции выражается через высоту по теореме Пифагора: 

 $BC= a= \sqrt{h^{2}+(\frac{c-b}{2})^{2}$

Зная, что 2a= b+c, получаем:

$b+c=2\sqrt{h^{2}+(\frac{c-b}{2})^{2}$

Упростив выражение получим:  

$h=\sqrt{(\frac{c+b}{2})^{2}-(\frac{c-b}{2})^{2}$ 

$h=\frac{1}{2}\sqrt{({c+b})^{2}-({c-b})^{2}$

используем формулы Квадрат суммы и Квадрат разности и после раскрытия скобок и упрощения получим

$h=\sqrt{bc}$ 

h=√(4*6)=√24=2√6

Радиус вписанной окружности равен половине высоты, т.к. центр окружности равноудален от точек кассания со сторонами/основаниями трапеции.

r=½h=½*2√6=√6

Радиус рассмотренной окружности и будет радиусом шара

$V=\frac{4}{3}piR^{3}$  

$V=\frac{4}{3}pi(\sqrt{6})^{3}$

$V=\frac{4}{3}pi6\sqrt{6}=8pi\sqrt{6}$

ответ:  $V=8pi\sqrt{6}$