Question

Дан треугольник a b c и h — точка пересечения высот этого треугольника. пусть d — середина отрезка b c , e — середина отрезка а с . кроме того, медианы треугольника a e d пересекаются в точке h . найдите градусную меру угла ∠ a b c . ответ укажите с точностью до десятитысячных.

Answer 1

∠АВС = 45°.

Объяснение:

В задачах, где в условии даны только отношения, угол обычно определяется также через отношения, то есть через тригонометрическую функцию.

Попробуем "приблизить" угол В к треугольнику AЕD с его медианами.

Заметим, что ∠СНМ = ∠В, как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. DE - средняя линия треугольника АВС, так как соединяет середины сторон АС и ВС. Значит ∠EDC = ∠B.

Прямоугольные треугольники FQH (NC перпендикулярна DE) и FMD - подобны по острому углу c коэффициентом подобия k = AH:HF = 1:2.  =>

QF/HF = FM/DF = SinB.  (1)

В треугольнике ADE EF = FD (AF - медиана), а EQ = QF (EQ = (1/2)·AN (EQ - средняя линия треугоьника ACN) и QF =  (1/2)·AN (из подобия FQH и ANH по острому углу).

Значит FD = 2·QF.  (2)

ЕР параллельна DC (ЕР - средняя линия треугольника ADC) =>

AH=HM, AH = 2·HF => HM = 2·HF => FM=HF. (3)

Подставим в (1) полученные соотношения (2) и (3):

QF/HF = FM/DF  => QF/HF = HF/2QF =>  2·QF² = HF²  =>  √2·QF = HF.

Тогда SinB = QF/HF = QF/(√2·QF) = 1/√2  = √2/2.  =>

∠B = 45°.

Вариант 2. По теореме Менелая.

В треугольнике AFE и секущей HC:

(AH/HF)·(FQ/QE)·(EC/CA) =1  или (2/1)·(FQ/QE)·(1/2)  =1. =>  FQ=QE.

Тогда, так как EF=FD (AF -медиана), то FD = 2·FQ.

В треугольнике EDC и секущей AM:

(CM/MD)·(DF/FE)·(EA/AC) =1  или (CM/MD)·(1/1)·(1/2)  =1. =>  CM/MD = 2/1.

В треугольнике САМ и секущей ED:

(CE/EA)·(AF/FM)·(MD/DC) =1  или (1/2)·(AF/FM)·(1/3) =1.  => AF/FM =3/1.

Тогда, так как АН/HF = 2/1 (AF -медиана), то HF = FM.

Подставим в (1) полученные соотношения:

QF/HF = HF/(2·QF) => 2QF² = HF²  => HF = QF√2.

SinB = QF/HF = QF/(QF√2) = 1/√2 = √2/2.  =>

∠B = 45°.