Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника равен 2√3 см, а радиус окружности, вписанной в него - 3 см. найдите: 1) сторону многоугольника, 2) количество сторон многоугольника.
Объяснение: Центр окружности, вписанной в правильный n-угольник. совпадает с центром окружности, описанной около него. Такой многоугольник по числу сторон можно разделить на n равных равнобедренных треугольников с вершиной в центре окружностей. Боковыми сторонами каждого такого треугольника будут радиусы описанной окружности, высотой - радиус вписанной окружности.
Пусть центр окружностей О, АО=ВО=R=2√3; ОН=r=3 =⇒
sin ∠OAH=OH:OA=3:2√3== это синус угла 60°. Треугольник АОВ равнобедренный ⇒ угол АОВ=60°⇒ ∆АОВ - равносторонний, АВ=АО=R=2√3,.
Градусная величина полного угла 360°. Следовательно, n=360:60=6 (сторон многоугольника)
Теорема про три перпендикуляри. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.На малюнку 415 АН - перпендикуляр до площини α; АМ - похила. Через основу похилої - точку М проведено пряму а. Теорема про три перпендикуляри стверджує, що якщо а НМ, то а АМ, і навпаки, якщо а АМ, то а НМ.
Приклад 1. З вершини квадрата АВСD проведено перпендикуляр АК до площини квадрата. Знайти площу квадрата, якщо КD = 5 см; КС = 13 см.Розв’язання (мал. 416). 1) АК АВС; КD - похила; АDБ - її проекція. Оскільки АD DС, то за теоремою про три перпендикуляри маємо КD DС.3) Тоді площа квадрата S = 82 = 64 (см2).
Приклад 2. Сторони трикутника довжиною 4 см, 13 см і 15 см. Через вершину найбільшого кута до площини трикутника проведено перпендикуляр і з його кінця, що не належить трикутнику, проведено перпендикуляр завдовжки 4 см до протилежної сторони цього кута. Знайти довжину перпендикуляра, проведеного до площини трикутника.Розв’язання. 1) У ∆АВС: АВ = 4 см; ВС = 13 см; АС = 15 см. Оскільки АС - найбільша сторона трикутника, то АВС - найбільший кут трикутника. ВК АВС (мал. 417).2) КМ АС, тоді за теоремою про три перпендикуляри: ВМ АС, тобто ВМ - висота ∆АВС. За умовою: КМ = 4см.3) Знайдемо площу трикутника АВС за формулою Герона.4) 3 іншого боку
Ну, тоды поставим точку в середине стороны АВ, и назовём её незатейливой буквой Е. Построим отрезок ЕС. А также, если ещё не провели, то проведём отрезок AF. И ещё строим отрезок EF. И видим, что тремя отрезками наш квадрат разбился на четыре одинаковых треугольника, а они все четыре одинаковые, потому что каждый имеет прямой угол, катет 2 см, и катет 1 см. Итак, осталось только понять,что площадь четырёхугольника ABCF составляет три треугольника. Видишь на чертеже? Площадь квадрата мы умеем находить, это будет 2*2 = 4 см2. А значит площадь четырёхугольника будет 3/4 от 4 = 3 см2. Андерстенд?
ответ: 1) 2√3 см; 2)6 сторон
Объяснение: Центр окружности, вписанной в правильный n-угольник. совпадает с центром окружности, описанной около него. Такой многоугольник по числу сторон можно разделить на n равных равнобедренных треугольников с вершиной в центре окружностей. Боковыми сторонами каждого такого треугольника будут радиусы описанной окружности, высотой - радиус вписанной окружности.
Пусть центр окружностей О, АО=ВО=R=2√3; ОН=r=3 =⇒
sin ∠OAH=OH:OA=3:2√3=
= это синус угла 60°. Треугольник АОВ равнобедренный ⇒ угол АОВ=60°⇒ ∆АОВ - равносторонний, АВ=АО=R=2√3,.
Градусная величина полного угла 360°. Следовательно, n=360:60=6 (сторон многоугольника)