Вообще-то полезно запомнить. В равностороннем треугольнике со стороной a радиус описанной окружности равен R = a/√3; а радиус вписанной окружности в 2 раза меньше, r = a/2√3;.
Прямой применить теорему синусов 2*R*sin(60°) = a, откуда это сразу следует. Если теорема синусов незнакома - не беда, в правильном треугольнике все центры совпадают, и центр описанной окружности лежит на пересечении медиан, то есть на расстоянии (2/3 от длины медианы-биссектрисы-высоты) от вершины и (1/3 от длинны этой высоты) от стороны. То есть R = 2*H/3; r = H/3;
Высота равна H = а*√3/2, что легко сосчитать из треугольника с гипотенузой а и малым катетом а/2. А радиус R = (2/3)*a*√3/2 = a*√3/3 = a/√3; r = R/2 = a/2√3;
ответ r = 2√3;
Пусть угол Ф - при большом основании, тогда
h = a*sin(Ф);
x = a*cos(Ф);
S = a^2*sin(Ф)*(1 + cos(Ф)) = a^2*(sin(Ф) + sin(2*Ф)/2);
взятие производной по Ф дает (постоянный множитель отбрасываем) для точки экстремума
cos(Ф) + cos(2*Ф) = 0; Пусть cos(Ф) = t
2*t^2 + t - 1 = 0; t = (-1+-3)/4; нужный корень положительный t = 1/2.
Поскольку cos(Ф) = 1/2, угол Ф = 60 градусов, и нижнее основание 2*а.
Если вы не проходили производные - попробуйте найти максимум функции
f = sin(Ф) + sin(2*Ф)/2
путем тригонометрических преобразований. (Я настолько привык к производным, что мне трудно выдумать с ходу такоцй тупой метод, уж простите:) дома гляну в учебнике, может найду)
