Question

Вδabc медиана ad и биссектриса be перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. найдите радиус вписанной в δabc окружности.

Answer 1

В ΔABC медиана AD и биссектриса BE перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найдите радиус вписанной в ΔABC окружности.

РЕШЕНИЕ:

• Рассмотрим тр. АВD:
BP - биссектриса и высота
Значит, тр. ABD - равнобедренный , АB = BD , АР = PD = AD/2 = 4/2 = 2
• Проведём из точки С прямую, параллельную прямой AD до пересечения с прямой АВ в точке К.
• Отсюда BD = DC = AB = AK =>
тр. ВСK - равнобедренный , ВК = ВС ,
ВР перпендикулярен АD
Соответственно, ВН перпендикулярен КС
ВН - биссектриса, медиана , высота.
• Медианы ВН и АС тр. ВСК пересекаются в точке Е =>
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1 , считая от вершины.
ВЕ : ЕН = 2 : 1 .
ЕН = ВЕ / 2 = 4 / 2 = 2
ВН = ВЕ + ЕН = 4 + 2 = 6
Но ВР = РН = ВН / 2 = 6 / 2 = 3
РЕ = ВЕ - ВР = 4 - 3 = 1
• Рассмотрим тр. АВР (угол АРВ = 90°):
По теореме Пифагора:
АВ^2 = АР^2 + ВР^2
АВ^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13
АВ = V13
Соответственно, ВС = 2•АВ = 2V13
• Рассмотрим тр. АРЕ (угол АРЕ = 90°):
По теореме Пифагора:
АЕ^2 = АР^2 + РЕ^2
АЕ^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5
АЕ = V5
• По свойству медианы:
ЕС = 2 • АЕ = 2V5
АС = АЕ + ЕС = V5 + 2V5 = 3V5
В итоге получаем известные стороны треугольника АВС: АВ = V13 ; BC = 2V13 ; AC = 3V5
• По теореме косинусов:
АС^2 = АВ^2 + ВС^2 - 2•АВ•ВС•cos B
( 3V5 )^2 = ( V13 )^2 + ( 2V13 )^2 - 2•V13•2V13•cos B
45 = 13 + 52 - 52•cos B
cos B = 5 / 13 => sin B = 12 / 13
• Площадь тр. АВС:
S abc = AB • BC • sin B / 2 = ( V13 • 2V13 • 12/13 ) / 2 = 12
• Воспользовшись следующей формулой найдём искомый радиус вписанной окружности в тр. АВС:

$s = p \times r \\ \\ r = \frac{s}{p} = \frac{12}{ \frac{3 \sqrt{13} + 3 \sqrt{5} }{2} } = \frac{12 \times 2}{3( \sqrt{13} + \sqrt{5}) } = \frac{8}{ \sqrt{13} + \sqrt{5} } = \\ = \frac{8( \sqrt{13} - \sqrt{5}) }{( \sqrt{13} + \sqrt{5} )( \sqrt{13} - \sqrt{5} )} = \frac{8( \sqrt{13} - \sqrt{5} ) }{ ({ \sqrt{13}) }^{2} - {( \sqrt{5} )}^{2} } = \\ = \frac{8( \sqrt{13} - \sqrt{5} )}{8} = \sqrt{13} - \sqrt{5} \\$

ОТВЕТ: V13 - V5