Question

Nnnlll54 ! 20 ! в прямоугольном треугольнике abc(c=90), высота ch=7, биссектриса = 35/4. найти катеты и площадь abc.

Answer 1

ΔАВС , ∠С=90° , СК- биссектриса  ⇒ ∠АСК=∠ВСК=45° , СН⊥АВ  ⇒  ∠СНВ=90°, СН=7 ,  СК=35/4 .

Рассм. ΔСКН - прямоугольный. Обозначим ∠КСН=α  ,

КН=√(СК²-СН²)=√((35/4)²-7²)=√(441/16)=21/4 .

tgα=КН/СН=21/4:7=3/4 .

Рассм. ΔВСН. ∠ВСН=∠ВСК-∠КСН=45°-α  ⇒  ∠В=90°-(45°-α)=45°+α .

tg∠ВСН=tg(45°-α)=ВН/СН  ⇒  ВН=СН·tg(45°-α)=7·tg(45°-α) .

$tg(45^\circ -\alpha )=\frac{tg45^\circ -tg\alpha }{1+tg45^\circ \cdot tg\alpha }=\frac{1-3/4}{1+3/4}=\frac{4-3}{4+3}=\frac{1}{7}$

$BH=7\cdot \frac{1}{7}=1$

$BC=\sqrt{BH^2+CH^2}=\sqrt{1^2+7^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2$

Рассм. ΔАСН. ∠АСН=∠АСК+∠КСН=45°+α .

tg∠АСН=АН/СН  ⇒  АН=СН·tg∠АСН=7·tg(45°+α)

$tg(45^\circ +\alpha )=\frac{tg45^\circ +tg\alpha }{1-tg45^\circ tg\alpha }=\frac{1+3/4}{1-3/4}=\frac{4+3}{4-3}=7\\\\AH=7\cdot 7=49\\\\AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{7^2\cdot tg^2(45^\circ +\alpha )+7^2}=7\sqrt{49+1}=\\=7\cdot \sqrt{50}=35\sqrt2\\\\AB=AH+HB=49+1=50\\\\S(ABC)=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot 50\cdot 7=175$

Или:  $S(ABC)=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 35\sqrt2\cdot 5\sqrt2=35\cdot 5=175$  .