Обозначим для удобства доли отношений: OA=7y OA1=y BO=OB1=x Из подобия прямоугольных треугольников по острому углу AOB1 и A1OB Получим y/x=x/7y x^2=7y^2 x=√7y Площадь треугольника можно найти SABC=1/2*2x*4=1/2*8y*BC 8x=8y*BC x=y*BC √7y=y*BC BC=√7 Рассмотрим прямоугольный треугольник треугольник AB1O sin OAB1=x/7y=√7y/7y=1/√7 Откуда тк C=90-OAB1 то cosC=cos(90-OAB1)=sinOAB1=1/√7 Теперь по теореме косинусов найдем 3 сторону: AB^2=16+7-2*4*√7*1/√7=16+7-8=15 AB=√15 Рассмотрим прямоугольные треугольники CAA1 и CBB1 Из них получим: СB1=CB*cosС=√7*1/√7=1 CA1=AC*cosC=4/√7 И наконец 2 раз применим теорему косинусов:
Рассмотрим ∆АВD.
P – середина АВ по условию;
Т – середина АD по условию;
Следовательно РТ – средняя линия ∆ABD. Средняя линия треугольника вдвое меньше стороны треугольника, которой она параллельна.
PT//BD так как средняя линия параллельна одной из сторон треугольника.
Тогда РТ=0,5*BD=0,5*8=4 см
Рассмотрим ∆BCD.
Q – середина СВ по условию;
R – середина CD по условию;
Следовательно QR – средняя линия ∆BCD. Средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна.
QR//BD так как средняя линия параллельна одной из сторон треугольника.
Тогда QR=0,5*BD=0,5*8=4 см.
PT//BD и QR//BD => РТ//QR.
РТ=4 см; QR=4 см => РТ=QR.
Тогда получим что, две противоположные стороны четырехугольника PQRT параллельны и равны, следовательно четырехугольник PQRT – параллелограмм.
Рассмотрим ∆PBQ u ∆ABC.
Угол АВС – общий;
Так как точка Р – середина АВ, то РВ равна половине АВ
Следовательно РВ/АВ=1/2;
Так как точка Q – середина СВ, то QB равно половине СВ
Тогда QB/CB=1/2;
Исходя из найденного, ∆PBQ~∆ABC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, а коэффициент подобия треугольников 1/2.
Следовательно PQ/AC=1/2;
2/AC=1/2;
AC=2*2
AC=4 см.
ответ: Параллелограмм; РТ=4 см; АС=4 см.