1. Треугольник - египетский, его стороны относятся, как 3:4:5, тогда первый катет 30 см, второй 40 см
3. Пусть АВСD - трапеция, угол В - тупой, АС - биссектриса, тогда угол ВСА = углу ACD и угол ВСА = углу CAD, как внутренние накрест лежащие при BC||AD и секущей AC/ Получили, треугольник ACD - равнобедренный (у него углы при основании равны), значит, CD=AD=6 см, а так как трапеция равнобедренная, то AB=CD=6 см. По условию, периметр = 22 см, тогда AB+BC+CD+AD = 22 6+6+6+BC=22 18+BC=22 BC=22-18 BC=4 см
ответ: AB=AD=CD=6 см, ВС=4 см
4. Площадь АСВ = 1/2 х ВС х СА = 1/2 х 3х 4 = 6 cм квадратных Пол свойству биссектрисы угла треугольника: DC: DB = 3:4, тогда 3Х+5Х=4
8Х=4 Х=0,5, тогда DС=1,5 см, площадь треугольника ACD равна 1/2 х DC x AC = о,5 х 1,5 х 3 = 2,25 cм квадратных, а площадь треугольника ADC = 6 - 2,25 = 3,75 cм квадратных
ответ: 2,25 и 3,75 см квадратных
2.
Пусть ABCD - ромб, угол А - тупой, АС + BD = d ( по условию сумма диагоналей ), сторона ВС = а. Тогда ВО + ОС = 0,5 d (1), где О - точка пересечения диагоналей, по теореме Пифагора: ВО^2 + ОС^2 = a^2 (2)
(1) Возведем обе части уравнения в квадрат, получим ВО^2 + 2 ВОхОС +ОС^2 = 0, 25 d^2 (1.1)
Любая вписанная трапеция равнобокая, так как углы, опирающиеся на одну дугу, должны быть равны. Обозначим основания трапеции за 2x и 2y. Тогда средняя линия равна (2x + 2y)/2 = (x + y),
Уравнения:
Решаем первое уравнение.
Подставляя во второе уравнение и немного мучаясь, можно получить ответ x = 6, y = 8.
Уравнения будут выглядеть немного лучше, если обозначить куски высоты как 4x и 3x. Тогда уравнение будет выглядеть следующим образом: Получающееся квадратное уравнение радует количеством вычислений.
Наконец, можно обозначить неизвестными углы H1CO = x и H2DO = y Тогда система получится простой: Но решать её всё равно неинтересно.
3. Пусть АВСD - трапеция, угол В - тупой, АС - биссектриса, тогда угол ВСА = углу ACD и угол ВСА = углу CAD, как внутренние накрест лежащие при BC||AD и секущей AC/ Получили, треугольник ACD - равнобедренный (у него углы при основании равны), значит, CD=AD=6 см, а так как трапеция равнобедренная, то AB=CD=6 см.
По условию, периметр = 22 см, тогда AB+BC+CD+AD = 22
6+6+6+BC=22
18+BC=22
BC=22-18
BC=4 см
ответ: AB=AD=CD=6 см, ВС=4 см
4. Площадь АСВ = 1/2 х ВС х СА = 1/2 х 3х 4 = 6 cм квадратных
Пол свойству биссектрисы угла треугольника: DC: DB = 3:4, тогда 3Х+5Х=4
8Х=4
Х=0,5, тогда DС=1,5 см, площадь треугольника ACD равна 1/2 х DC x AC = о,5 х 1,5 х 3 = 2,25 cм квадратных,
а площадь треугольника ADC = 6 - 2,25 = 3,75 cм квадратных
ответ: 2,25 и 3,75 см квадратных
2.
Пусть ABCD - ромб, угол А - тупой, АС + BD = d ( по условию сумма диагоналей ), сторона ВС = а. Тогда ВО + ОС = 0,5 d (1), где О - точка пересечения диагоналей, по теореме Пифагора: ВО^2 + ОС^2 = a^2 (2)
(1) Возведем обе части уравнения в квадрат, получим
ВО^2 + 2 ВОхОС +ОС^2 = 0, 25 d^2 (1.1)
Подставим (2) в (1.1), получим
а^2 + 2 ВОхОС = 0, 25 d^2 (1.2)
2 ВОхОС = 0, 25 d^2 - а^2
А площадь ромба равна 4 х площадь треугольника ВОС, то есть
2 ВОхОС = 0, 25 d^2 - а^2
ответ: 0, 25 d^2 - а^2