Введем обозначения: ABC - исходный треугольник с прямым углом C, высотой CN и биссектрисой AL пересекающимися в точке K.
Нетрудно видеть, что прямоугольные треугольники ACL и ANK подобны. И коэффициент подобия по отношению их гипотенуз |AL|/|AK| = (9+6)/9 = 15/9 = 5/3.
Стало быть и их катеты |AC|/|AN| = 5/3. Но прямоугольный треугольник ACN (в котором эти стороны гипотенуза и катет) подобен всему треугольнику ABC в котором стало быть стороны |AB|, |AC| и |CB|относятся как 5:3:4 (4 = корень(5*5-3*3).
Достаточно узнать длину |AC| чтобы найти всю площадь. S = |AC|*|CB|/2 = |AC|*(4/3)*|AC|/2 = (2/3)*|AC|^2
Но |AC| равна 15*cos(A/2), где по формуле косинуса половинного угла cos(A/2) = корень((1+cos(A))/2) = корень((1+3/5)/2) = корень(4/5).
То есть S = (2/3)*(15*корень(4/5))^2 = (2/3)*15*15*(4/5) = 2*4*15 = 120
Объяснение:
Правильное условие:
В треугольнике ABC AB=√21, BC=3√21. Биссектриса внешнего угла треугольника при вершине B пересекает прямую AC в точке P, угол APB равен 30°. Найдите BP.
Внешний угол треугольника равен сумме двух других не смежных с ним.
Пусть ∠CAB = y; ∠BCA = x.
Тогда внешний угол при вершине B равен x+y.
Биссектриса делит угол пополам, поэтому ∠ABP =
По свойству внешнего угла из ΔAPB имеем:
∠CAB = ∠APB+∠ABP;
y = 30°+
2y = 60°+x+y;
y = 60°+x = ∠CAB.
В ΔABC, по теореме синусов, получим равенство:
3√(21)·sin(x) = √(21)·sin(60°+x);
3sin(x) = sin(60°)·cos(x)+cos(60°)·sin(x);
3sin(x) =
·cos(x)+
·sin(x);
6sin(x)-sin(x) = 5sin(x) = √(3)·cos(x);
Если cos x = 0, то sin x = 0, но синус и косинус не могут одновременно равняться нулю, тогда поделим на cos x ≠ 0;
tg(x) =
.
Найдём sin(x):
По основному тригонометрическому тождеству:
sin(x) = +√(3/28) т.к. 0 < x < 180°, как угол треугольника.
По теореме синусов в ΔCPB:
ответ: 9.