В трапецию ABCD с основаниями BC и AD вписана окружность с центром в точке 0. Площадь Δ АОВ относится к площади Δ COD как 1:3. Тогда отношение sin A: sinD равно... .
Объяснение:
Центр вписанной окружности O лежит в точке пересечения биссектрис углов трапеции. Соединим т. О с точкой касания окружности с боковыми сторонами . Это будет радиус и высота ΔАОВ и ΔCOD ( кстати, прямоугольных) .
S(AOB)=0,5*AB*r ,S(COD)=0,5*CD*r . Тогда отношение
.
Пусть ВК⊥АD ,СР⊥АD. BK=CP =h
ΔABK-прямоугольный ,sin A=
.
ΔDCP-прямоугольный ,sin D=
.
Отношение 
.
Объяснение:
Вариант 1
1. Диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся на 4 равные части. Значит, AO = BO, и ΔAOB равнобедренный по определению ( с основанием AB). По свойству углов при основании равнобедрнного треугольника <ABO = <BAO = 30°.
Сумма углов треугольника 180°, поэтому
<AOB = 180° - <ABO - <BAO = 180° - 30° - 30° = 120° - угол между диагоналями.
2.а) Так как KE - биссектриса, то <MKE = <EKP
Так же <EKP = <MEK ( внутренние накрест лежащие углы при MN ║ KP и секущей KE)
Значит, <MKE = <EKP = <MEK, и ΔKME равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника.
б) KM + MN = P(KMNP)/2 = 52/2 = 26 см
KM = ME = 10 см
KP = MN = 26 - KM = 26 - 10 = 16 см
Вариант 2
1. По свойству противоположных углов ромба <MKP = <MNP = 40°
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, значит, <MKO = <MKP/2 = 20°
Также диагонали параллелограмма перпендикулярны, поэтому <KOM = 90°.
Сумма углов треугольника 180°, поэтому
<KMO = 180° - <KOM - <MKO = 180° - 90° - 20° = 70°
Итого <KMO = 70°, <KOM = 90°, <MKO = 20°
2. а) AB = BM , значит ΔABM равнобедренный по определению, и по свойству углов при основании равнобедренного треугольника <BAM = <BMA.
<BMA = <MAD (внутренние накрест лежащие углы при BC ║ AD и секущей AM.
Следовательно, <BMA = < MAD, и AM - биссектриса <BAD.
б) AB = CD = 8 см (противоположные стороны параллелограмма равны)
BC = BM + CM
BM = AB (так как ΔABM равнобедренный)
BC = 8 + 4 = 12 см
P(ABCD) = 2*(AB+BC) = 2*(8 + 12) = 40 см
BC=x
AC=3x
X+x+3x=35
5x=35
X=7
AB=7
BC=7
AC= 3*7=21