a) Для начала, нам нужно найти векторы AD и AB. Учитывая, что вектор AD и вектор AB являются диагоналями параллелограмма ABCD, они равны друг другу по длине и противоположны по направлению. Так как AB = 2√3, то AD тоже равен 2√3.
Теперь, чтобы найти скалярное произведение векторов AD и AB, мы должны умножить длины векторов и косинус угла между ними. У нас дан угол A, который равен 30°. Косинус 30° равен √3/2. Таким образом, скалярное произведение векторов AD и AB равно:
b) Теперь давайте найдем векторы BA и BC. По аналогии с предыдущим шагом, мы можем сказать, что BA = -AB, так как они противоположны по направлению. Значит, BA = -2√3.
Далее, нам нужно умножить длины векторов BA и BC на косинус угла между ними, чтобы найти скалярное произведение. Угол B = 180° - A = 180° - 30° = 150°. Косинус 150° равен -√3/2. Поэтому, скалярное произведение векторов BA и BC равно:
c) Наконец, для нахождения скалярного произведения векторов AD и BH, нам нужно сначала найти векторы AD и BH.
Мы уже знаем, что AD = 2√3. Теперь давайте найдем BH. Угол BHC является вертикальным углом для угла A, поэтому BHC = 180° - A = 180° - 30° = 150°. Поскольку BC = 5, мы можем использовать косинусный закон для нахождения длины BH:
BH = √(AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(BHC))
BH = √((2√3)^2 + 5^2 - 2 * 2√3 * 5 * cos(150°))
BH = √(12 + 25 - 20 * (-√3/2))
BH = √(12 + 25 + 10√3)
BH = √(37 + 10√3).
Теперь мы можем найти скалярное произведение векторов AD и BH, умножив их длины и косинус угла между ними. У нас нет непосредственной информации об этом угле, поэтому мы не можем его вычислить. Но мы можем оставить его в ответе, используя переменную t:
a) Для начала, нам нужно найти векторы AD и AB. Учитывая, что вектор AD и вектор AB являются диагоналями параллелограмма ABCD, они равны друг другу по длине и противоположны по направлению. Так как AB = 2√3, то AD тоже равен 2√3.
Теперь, чтобы найти скалярное произведение векторов AD и AB, мы должны умножить длины векторов и косинус угла между ними. У нас дан угол A, который равен 30°. Косинус 30° равен √3/2. Таким образом, скалярное произведение векторов AD и AB равно:
AD · AB = |AD| * |AB| * cos(A) = 2√3 * 2√3 * √3/2 = (2√3)^2 * √3/2 = 12 * √3/2 = 6√3.
Ответ: а) AD · AB = 6√3.
b) Теперь давайте найдем векторы BA и BC. По аналогии с предыдущим шагом, мы можем сказать, что BA = -AB, так как они противоположны по направлению. Значит, BA = -2√3.
Далее, нам нужно умножить длины векторов BA и BC на косинус угла между ними, чтобы найти скалярное произведение. Угол B = 180° - A = 180° - 30° = 150°. Косинус 150° равен -√3/2. Поэтому, скалярное произведение векторов BA и BC равно:
BA · BC = |BA| * |BC| * cos(B) = |-2√3| * 5 * -√3/2 = 2√3 * 5 * -√3/2 = -10 * 3 = -30.
Ответ: б) BA · BC = -30.
c) Наконец, для нахождения скалярного произведения векторов AD и BH, нам нужно сначала найти векторы AD и BH.
Мы уже знаем, что AD = 2√3. Теперь давайте найдем BH. Угол BHC является вертикальным углом для угла A, поэтому BHC = 180° - A = 180° - 30° = 150°. Поскольку BC = 5, мы можем использовать косинусный закон для нахождения длины BH:
BH = √(AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(BHC))
BH = √((2√3)^2 + 5^2 - 2 * 2√3 * 5 * cos(150°))
BH = √(12 + 25 - 20 * (-√3/2))
BH = √(12 + 25 + 10√3)
BH = √(37 + 10√3).
Теперь мы можем найти скалярное произведение векторов AD и BH, умножив их длины и косинус угла между ними. У нас нет непосредственной информации об этом угле, поэтому мы не можем его вычислить. Но мы можем оставить его в ответе, используя переменную t:
AD · BH = |AD| * |BH| * cos(t) = 2√3 * √(37 + 10√3) * cos(t) = 2√3 * √(37 + 10√3) * cos(t).
Ответ: в) AD · BH = 2√3 * √(37 + 10√3) * cos(t).
Таким образом, мы нашли все скалярные произведения векторов в параллелограмме ABCD.